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Sneaker18 (Sneaker18)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Februar, 2002 - 16:06: | 
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Hy Leute, kann mir einer bei dieser Aufgabe helfen:
a) Welche Beziehung muss für die Koeffizienten der Funktion f:x->x^3+bx^2+cx+d gelten, damit der Graph von f zwei, genau eine bzw. keine waagrechte Tangente hat.
b) Bei dieser Aufgabe soll ich die punkte P des Graphen so bestimmen, dass die Tangente in P durch den Ursprung geht. und danch das Ergebnis am Graphen von f vergleichen => f(x)=x^2-4x+9
Würde euch suoper dankbar sein, wenn mir einer die Aufgabe bis Morgen früh lösen könnte,
Danke |
Integralgott
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. Februar, 2002 - 00:02: |
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Hi Sneaker18!
a)
Es geht um die Anzahl von Nullstellen der Ableitungsfunktion.
f'(x) = 3x² + 2bx + c
0 = 3x² + 2bx + c
<=> 0 = x² + (2b/3)*x + c/3
x1,2 = -b/3 +/- W{b²/9 - c/3}
Es geht nun um die Diskriminante (das, was unter der Wurzel steht). Ist diese positiv, dann gibt es zwei Nullstellen (und damit zwei waagerechte Tangenten), ist sie Null, dann gibt es nur eine, ist sie negativ, gar keine:
Zwei: b²/9 - c/3 > 0 <=> b² > 3c
Eine: b² = 3c
Keine: b² < 3c
b)
Es geht hier nur noch um eine quadratische Funktion.
Punkte, deren Tangenten durch den Ursprung geht, müssen folgende Bedingung erfüllen:
Die Ableitung in diesem Punkt muss den gleichen Wert besitzen, wie der Quotient aus y- und x-Koordinate (Steigungsdreieck zum entsprechenden Punkt):
f'(x) = [f(x)] / x
Mit
f(x) = ax² + bx + c und
f'(x) = 2ax + b
wird
2ax + b = ax + b + c/x
<=> ax - c/x = 0
<=> ax² = c
<=> x² = c/a
=> x1,2 = +/- W{c/a}
Funktionswerte:
y1,2 = c +/- b*W{c/a} + c = +/- b*W{c/a} + 2c
Folglich wären es in der gegebenen Funktion folgende Punkte:
x1,2 = +/- W{9} = +/- 3
y1 = -12 + 18 = 6
y2 = 12 + 18 = 30
P1 (3|6) und P2 (-3|30)
MfG, Integralgott |
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