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Sneaker18 (Sneaker18)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Februar, 2002 - 15:26: | 
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Hy Leute kann mir einer vielleicht sagen wie ich bei dieser Aufgabe den Scheitelpunkt bestimme?
f(x)=ax^2+bx+c und a ungleich 0
Danke |
Integralgott
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Februar, 2002 - 23:10: |
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Hi Sneaker18!
Es gibt drei verschiedene Möglichkeiten, die mir da auf Anhieb einfallen.
1.) Du kennst die Scheitelpunktform der quadratischen Gleichung:
y - ys = a * (x - xs)²
In diese Form musst Du die Gleichung Deiner Parabel bringen:
y = ax² + bx + c
<=> y = a * (x² + (b/a)*x + c/a)
<=> y = a * [(x + b/(2a))² + c/a - b²/(4a²)]
<=> y = a * (x + b/(2a))² + c - b²/(4a)
<=> y - (c - b²/(4a)) = a * (x + b/(2a))²
Nun kann man den Scheitelpunkt direkt ablesen:
S (-b/(2a) | c - b²/(4a))
2.) Man bestimmt den Extrempunkt der Funktion:
f'(x) = 2ax + b
2ax + b = 0
x = -b/(2a)
Den Funktionswert bekommt man durch Einsetzen in die Funktionsgleichung:
f(-b/(2a)) = a*[-b/(2a)]² + b*[-b/(2a)] + c = b²/(4a) - b²/(2a) + c = c - b²/(4a)
also S (-b/(2a) | c - b²/(4a))
3.) Man bestimmt die Nullstellen und bildet den arithmetischen Mittelwert. Da jede Parabel symmetrisch ist, erhält man die x-Koordinate des Scheitelpunkts:
ax² + bx + c = 0
<=> x² + (b/a)*x + c/a = 0
x1,2 = -b/(2*a) +/- W{b²/(4a²) - c/a}
Der arithmetische Mittelwert ist -b/(2a), weil W{b²/(4a²) - c/a} einmal addiert und einmal subtrahiert wird.
Der restliche Teil des Weges ist aus 2.) bereits bekannt. Auch hier ergibt sich der selbe Scheitelpunkt.
Ich hoffe, es war ein Dir bekannter bzw. nachvollziehbarer Weg dabei!
MfG, Integralgott |
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