| Autor |
Beitrag |
    
Cory
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. Februar, 2002 - 18:03: | 
|
Gegeben ist das Dreieck ABC durch seine Eckpunkte A(-10|0), B(10|0) und C(0|40/3).
Bestimme eine Gleihcung für seinen Inkreis. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Februar, 2002 - 16:57: |
|
Hi Cory
Wir wollen zuallererst den Radius r des gegebenen gleichschenkligen
Dreiecks ABC berechnen.
Dazu verwenden wir eine bekannte Formel aus der Elementargeometrie.
Sie lautet r = F / s.
F ist der Flächeninhalt des Dreiecks,
s ist der halbe Umfang des Dreiecks.
Mit AB = 20 als Grundlinie und OC = 40/3 als Höhe kommt:
F = 10 * 40 / 3 = 400 / 3
Mit Pythagoras berechnen wir die Schenkellänge L = AC = BC =
Wurzel( 100 + 1600 / 9) = 50/3: mithin:
s = ½ * (20 + 50/3 + 50/3 ) = 80 / 3 , daher nach dem erwähnten Satz:
r = 400 / 80 = 5
Die Koordinaten des Mittelpunktes M des Umkreises sind:
xM = 0 , yM = 5 , sodass seine Gleichung lautet:
x^2 + (y – 5)^2 = 25 oder
x^2 + y^2 – 10 y = 0.
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
MfG
H.R.Moser,megamath. |
Cory
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Februar, 2002 - 21:37: |
|
Ähhmmm, ich nehme an, es sollte Inkreis statt Umkreis heißen? Die Kreisgleichung x^2 + (y – 5)^2 = 25 war schon gut,
erstmal danke für die Lösung!,
aber wie man darauf kommt, weiß ich immer noch nicht, denn ich weiß nicht, wo die "bekannte" Formel r = F / s herkommt. Das müsste irgendwie mit Tangentengleichungen zu lösen sein, die Aufgabe steht jedenfalls in dem Kapitel.
Cory |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. Februar, 2002 - 09:02: |
|
Hi Cory,
In meinem Beitrag gibt es ein paar Ungereimtheiten in Form von
Druckfehlern und Lücken.
In der ersten Zeile sollte stehen:
Radius r DES INKREISES des gegebenen gleichschenkligen
Dreiecks ABC...
Am Schluss muss es heissen:
Die Koordinaten des Mittelpunktes M des INKREISES ....
Die Formel r = s * F gilt für jedes Dreieck und lässt sich leicht herleiten,
indem man die Dreiecksfläche durch die drei Verbindungsgeraden
des Inkreismittelpunktes M mit den Ecken A, B und C in drei Teildreiecke
zerlegt und addiert.
Die zu benützenden Höhen dieser Teildreiecke stimmen alle mit r überein.
Die Summe der Grundlinien ist gerade der Umfang 2* s des Dreiecks u.s.w.
Selbstverständlich können auch viele andere Methoden verwendet werden,
zum Beispiel diese: Die Gerade BC mit der Gleichung
x / 10 + y / (40/3) = 1 oder 4 * x + 3 * y = 40 ist eine Tangente t des
Inkreises k, dessen Gleichung im Ansatz so lautet :
x ^ 2 + (y – r ) ^ 2 = r ^2 ; es gilt nun, r zu bestimmen.
Wir verwenden die so genannte Diskriminantenmethode,
indem wir fordern, dass die zwei Schnittpunkte von t mit k
in einem Punkt ,dem Berührungspunkt T, zusammenfallen.
Die zugehörige quadratische Gleichung für den y-Wert des
Berührungspunktes T(x /y) besitzt eine Doppellösung.
Ausführung
Aus der Geradengleichung folgt: x = 10 – ¾ *y , eingesetzt in die
Kreisgleichung: (10 – ¾ *y)^2 +(y – r ) ^ 2 = r ^2 ,vereinfacht:
25 /16 * y ^ 2 - ( 2 r + 15 )* y + 100 = 0
Die Diskriminante D = B^2 – 4*A*C dieser Gleichung mit
A =25/16 , B = - ( 2 r + 15), C = 100 lautet :
D = 4 * r^2 + 60* r + 225 – 625 = 4* [ r^2 + 15 * r –100]
D muss null sein !
Aus der quadratischen Gleichung für r folgt als einzige taugliche
Lösung r = 5, wie zu erwarten war.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
|
