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N-te Ableitung - Richtig?

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anke
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Februar, 2002 - 13:40:   Beitrag drucken

Bestimmte die n-te Ableitung von f(x)!

Sind meine Lösungen richtig? (F(x) soll immer die n-te Ableitung sein!)
a) x^n
n-te Ableitung: F(x)=n*(n-1)*(n-2)*(n-3)... (n-n+2)*(n-n+1)
b) f(x)= x^(n-1)
Dann müsste das analog so sein:
F(x)= (n-1)*(n-2)*(n-3)... [(n-1)-(n-1)+2]*1
c) f(x)= x^(n+1)
F(x)= (n+1)*n*(n-1)… [(n+1)-(n+1)]*1
d) f(x)= x^(n+2)
F(x)= (n+2)*(n+1)*n*(n-1)… [(n+2)-(n+2)+2)]*1
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Cooksen
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Februar, 2002 - 17:37:   Beitrag drucken

Hallo anke!

zu a)
Richtig!
Dein Produkt hat insgesamt n Faktoren. Die letzten lassen sich dann vereinfachen zu ...*2*1.

zu b)
Auch hier sollte Dein Produkt - bei n Ableitungen - auch n Faktoren haben. Du hast aber nur (n-1) Faktoren, wiel Du bei n-1 beginnst und bei 1 schon auffhörst. Richtig wäre:
(n-1)*(n-2)*...*2*1*0

zu c)
Jede Ableitung erniedrigt den Exponenten von x um 1. Nach n-Ableitungen bleibt x^1 stehen. Entsprechen wäre der letzte Faktor Deines Produktes nicht 1 sondern 2. Richtig wäre:
(n+1)*n*...*3*2*x

zu d)
Aus dem gleichen Grund ist d) falsch.

Gruß Cooksen
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Anke
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Februar, 2002 - 13:02:   Beitrag drucken

Hallo!
Also wenn man b) bei mir vereinfach (2.letztes Glied) ist es auch *2*1! Außerdem kann doch am Ende keine 0 stehen, denn dann würde alles 0 werden, aber man soll noch nur die n-te und nicht die nächste Ableitung dazu machen, die dann 0 werden würde, oder ist das falsch?
Und wie ist das bei c)? Würde man bei mir aufgelöst nicht auch *2*1 herausbekommen? (3 natürlich auch vorher), warum soll dort dann noch das x stehen?
Würde mich freuen, wenn irgendwer noch mal antworten würde!
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Cooksen
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Februar, 2002 - 21:53:   Beitrag drucken

Hallo Anke!
Schade, dass Du mit meiner Antwort nicht zufrieden bist!

zu b)
Du hast mich schon richtig verstanden! Das Resultat ist 0.
Nimm z.B. n=4: also f(x) = x³ vier Mal ableiten:
f'(x) = 3*x²
f''(x) = 3*2*x = 6*x
f'''(x) = 3*2*1 = 6
f''''(x) = 0 ,da die Ableitung einer Konstanten Null ist.

zu c)
Nimm z.B. n = 3 und leite f(x) = x^4 drei Mal ab!
Dann erhälst Du
f'(x) = 4*x³
f''(x) = 4*3*x² = 12*x²
f'''(x) = 4*3*2*x = 24*x

Gruß Cooksen

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