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Tiffany (T_L)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. Februar, 2002 - 19:56: | 
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Hallo,
Vor kurzem hatten wir eine interessante (rekursive) Folge:
x1 = 1
xn+1 = wurzel(xn) + 1/wurzel(xn)
Der Grenzwert lag merkwürdigerweise bei 2,14789903...
Weiß vielleicht jemand, welche Zahl das genau ist? |
Yeltz
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Februar, 2002 - 02:57: |
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Hallo Tiffany,
die Folge ist sehr interesssant, da gebe ich dir recht, und es ist sicher würdig, zu bemerken, dass ihr Grenzwert etwa bei 2,14789903 liegt, aber jetzt kommt leider die große Enttäuschung:
Die Zahl ist eine von zwei meiner Ansicht nach völlig unspektakulären reellen Lösungen der Gleichung
x^6 + x^5 - 3*x^4 - 7*x^3 - 3*x^2 + x + 1 = 0
Wie ich denn darauf komme?
Das im einzelnen hier schriftlich wiederzugeben wäre eine nette Übung für dich, da du bereits den Stoff der Klasse 9 bereits beherrschen wirst, und mehr braucht man dafür nicht, als binomische Formeln und etwas Übung im Umgang mit Wurzelgleichungen.
Wenn die rekursive Folge nach unendlich vielen Rekursionen gegen einen konstanten Wert (den Grenzwert) strebt, ist es ihr ziemlich egal, ob noch eine weitere Rekursion gemacht wird oder nicht. Der Zahlenwert des Grenzwerts wird sich dann nicht mehr ändern. Was macht die Rekursionsformel?
Sie sagt, dass das, was für das x links raus kommt, gleich wieder rechts eingesetzt wird:
y = Ö(x) + 1/Ö(x) , die rechte Seite, soll wieder für y in
Ö(y) + 1/Ö(y) eingesetzt werden:
Ö(Ö(x) + 1/Ö(x) ) + 1/Ö(Ö(x) + 1/Ö(x) )
(ach, erstmal ein Lob auf den Erfinder von Strg+C, Strg+V und dem ganzen Rest...)
Jetzt nochmal in Blau das, was herauskommt, wenn eingesetzt wurde:
Ö(Ö(x) + 1/Ö(x) ) + 1/Ö(Ö(x) + 1/Ö(x) )
Ö(x) + 1/Ö(x) war schon das Folgenglied Nr. Unendlich, das Blaue ist dessen Nachfolgeglied.
Was schrieb ich eben:
Auch wenn eine weitere Rekursion gemacht wird, der Grenzwert ändert sich nicht mehr.
Also ist das Glied Ö(x) + 1/Ö(x) gleich seinem Nachfolgeglied:
Ö(x) + 1/Ö(x) = Ö(Ö(x) + 1/Ö(x) ) + 1/Ö(Ö(x) + 1/Ö(x) )
Hier nun die versprochene Übung für dich.
Eine Wurzelgleichung ist entstanden, die es in die Gleichung umzuformen gilt, die ich oben aufgeschrieben habe:
Zur Darstellung gebracht werden können Wurzelzeichen hier mit \gr{Ö}, Hochzahlen mit z.B. \+{4}
x^6 + x^5 - 3*x^4 - 7*x^3 - 3*x^2 + x + 1 = 0
Gib diese Gleichung auf Seite http://mss.math.vanderbilt.edu/~pscrooke/MSS/solvepoly.html hinter "Equation:" ein und klicke auf "Solve".
Ausgegeben wird hinter "The symbolic roots are: " irgendwo in dieser Liste von 6 Zahlen der algebraische Ausdruck der Zahl, die du gesucht hast:
(2 + 2^(2/3) *(47 - 3* sqrt(93))^(1/3) + 2^(2/3)* (47 + 3*sqrt(93))^(1/3) )/6
"sqrt" bedeutet natürlich "Quadratwurzel". |
Tiffany (T_L)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Februar, 2002 - 08:06: |
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Hi Yeltz
Ich habe mittlerweile die Gesamtlösung zur Aufgabe. Dort wird aber der Grenzwert als Lösung einer Gleichung 3. (und nicht 6.) Grades angegeben:
x3 - x2 - 2x - 1 = 0
Stimmt das? Wenn ich die Zahl in beide Gleichungen einsetze, erhalte ich offensichtlich korrekt 0.
Tiffany |
Martin (Martin243)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Februar, 2002 - 09:17: |
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Versuch es doch mit Polynomdivision und du stellst fest, dass dein Polynom das von Yeltz teilt:
[x6 + x5 - 3x4 - 7x3 - 3x2 + x + 1] : [x3 - x2 - 2x - 1]
= x³ + 2x² + x - 1
Das bedeutet, dass das Polynom 6. Grades (mindestens) dieselben stellen hat wie dein Polynom.
Mit anderen Worten:
Deine Darstellung ist einfacher.
Aber: Du bist ja nicht selbst draufgekommen ;-) |
Xell
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Februar, 2002 - 19:51: |
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Hallo,
Es muss gelten, wenn G der Grenzwert der Folge ist:
G = sqrt(G) + 1/sqrt(G)
=> G = (G+1)/sqrt(G)
=> G² = (G²+2G+1)/G
=> G³ = G²+2G+1
=> G³ - G² - 2G - 1 = 0
Nach G auflösen wäre nun möglich nach Cardano.
Mal sehen, was maple dazu meint:
G = 1/6*((188+12*sqrt(93))^(2/3)+28+2*(188+12*sqrt(93))^(1/3))/(188+12*sqrt(93))^(1/3)
Dies ergibt dann auf 20 Nachkommastellen gerundet
G = 2.1478990357047873540
Grüße, Xell |
Yeltz
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Februar, 2002 - 22:34: |
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Tiffany: finde ich nicht nett von dir, dass du deinen Lösungsweg nicht rausgerückt hast, sondern dass Xell das machen musste.
@Xell: Danke Xell, im Nachhinein ist es natürlich viel leichter, das G einfach mit seinem Nachfolgeglied gleichzusetzen.
Darauf bin ich nicht gekommen, weil Maple mir den Term x^6 + x^5 - 3*x^4 - 7*x^3 - 3*x^2 + x + 1 nicht faktorisieren wollte und ich zu blöd für diese elegante Lösung war. |
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