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jan
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Februar, 2002 - 23:01: | 
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Brauche dringend Hilfe bei der folgenden Aufgabe, da ich nicht weiß, wie ich anfangen soll:
Gegeben: f(x)=x^2-2,75
Aufgabe: a) Bestimme die Gleichung der Tangente und Normalen im Punkt P(a/y) der Funktion
b) Skizziere den Sachverhalt (Habe ich gemacht)
c) Gib die Koordinaten von P an, wenn die Normale durch den Ursprung verläuft.
Vielen Dank |
K.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. Februar, 2002 - 09:42: |
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Hallo Jan
f(x)=x²-2,75
a) Berührpunkt ist P(a|y) mit y=a²-2,75; also
P(a|a²-2,75)
Fehlt noch die Steigung der Tangente.
Die Steigung der Tangente ist die Steigung der Funktion im Punkt P.
Die Steigung einer Funktion in einem Punkt ist die 1.Ableitung in dem Punkt; also
Ableitung von f(x) bestimmen
f'(x)=2x
=> f'(a)=2a=m ist die Steigung der Tangente.
Da die Tangente eine Gerade ist, setzen wir die Werte von P und m in die allgemeine Geradengleichung ein; also
y=mx+b
a²-2,75=2a*a+b
<=> a²-2,75=2a²+b |-2a²
<=> -a²-2,75=b ist der y-Achsenabschnitt der Tangente, also lautet die Gleichung der Tangente
y=2a*x-a²-2,75
Die Normale ist die zur Tangente senkrechte Gerade, die ebenfalls durch P geht.
Für zueinander senkrechte Geraden gilt:
m1*m2=-1
Sei m1=2a die Steigung der Tangente, dann folgt
2a*m2=-1 <=> m2=-1/2a ist die Steigung der Normalen.
Wir setzen m1 und P in die allgemeine Geradengleichung ein und erhalten
a²-2,75=(-1/2a)*a+b
<=> a²-2,75=-1/2+b
<=> b=a²-2,75+1/2=a²-2,25 ist der y-Achsenabschnitt der Normalen.
Die Gleichung der Normalen lautet also:
y=(-1/2a)*x+a²-2,25
c) Normale soll durch den Ursprung gehen;
d.h. O(0|0) liegt auf der Normalen
=> 0=(-1/2a)*0+a²-2,25
<=> 0=a²-2,25
<=> a²=2,25
=> a=1,5 oder a=-1,5
In P(a|a²-2,25) eingesetzt folgt daraus
P(1,5|0) oder P(-1,5|0)
Mfg K. |
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