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stefa
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Februar, 2002 - 22:53: | 
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Hallo! Ich komme einfach nicht auf die Lösung, bitte helft mir...
Hier die Aufgabe:
a.Die Tangenten an den Graphen der Funktion y=sqr(x) [sqr=Wurzel] in den Punkten P1(a;ya) und P2(b;yb) (mit a<b) schneiden sich im Punkt S. Gib die Koordinaten an.
b.Ebenso sind die Normalen in den Punkten P1 und P2 gezeichnet. Berechne ihren Schnittpunkt
Vielen Dank schon einmal! |
K.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. Februar, 2002 - 09:59: |
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Hallo Stefa
f(x)=Öx
Durch einsetzen der x-Werte in die Funktionsgleichung die y-Werte der Punkte bestimmen; also
P1(a|ya) => P1(a|Öa)
P2(b|yb) => P2(b|Öb)
P1 und P2 sind die Berührpunkte der Tangenten.
Fehlt noch die Steigung der Tangenten.
Diese entsprechen der 1. Ableitung in den Berührpunkten; also
f'(x)=1/(2Öx)
=> m1=f'(a)=1/(2Öa) und
m2=f'(b)=1/(2Öb) sind die Steigungen der Tangenten.
Nun die Koordinaten der Punkte P1 und P2 sowie die zugehörigen Steigungen in die allgemeine Geradengleichung
y=mx+n einsetzen; ergibt
P1,m1: Öa=a*1/(2Öa+n <=> n=Öa-(Öa/2)=Öa/2
=> t1: y=a*x+Öa/2
P2,m2: y=b*x+Öb/2
Schnittpunkt S von t1 und t2:
t1=t2
<=> ax+Öa/2=bx+Öb/2
<=> 2ax+Öa=2bx+Öb
<=> 2ax-2bx=Öb-Öa
<=> (2a-2b)x=Öb-Öa
<=> x=[Öb-Öa)/(2a-2b)
Entsprechenden y-Wert durch einsetzen in die Tangentengleichung ermitteln.
b) Für die Normalen n1 und n2 gilt:
Sie gehen durch die Punkte P1 bzw. P2 und sind senkrecht zu den jeweiligen Tangenten.
Für ihre Steigungen gilt also:
Steigung der Tangente * Steigung der Normale = -1
=> m(n1)*m(t1)=-1 <=> m(n1)=-1/m(t1)
mit m(t1)=1/(2Öa) folgt also
m(n1)=-1/(1/(2Öa))=-2Öa
Entsprechend folgt
m(n2)=-2Öb
Um die Gleichung aufzustellen, setzt man nun wieder die Punkte und die Steigung in die allgemeine Geradengleichung ein.
Anschließend beide Normalengleichungen gleich setzen und nach x auflösen,
ergibt den x-Wert des Schnittpunktes.
Mfg K. |
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