| Autor |
Beitrag |
    
Hallo (Merci)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Februar, 2002 - 19:08: | 
|
Hallo Leute,
wir haben letztens in Mathematik mit Differentialrechnung angefangen. Der erste Unterpunkt den er angeschrieben hat war "Steigung von Kurven". Dann haben wir uns ein Koordinatensystem gezeichnet und die Normalparabel eingezeichnet. Und was wir uns jetzt überlegen sollen (den weiter hat er nichts gesagt, waren fast am Ende der Stunde) ist...
die Bestimmung der Steigung der Normalparabel im Punkt P(1/1).
Wir haben uns eine Tangente an den Punkt gezeichnet, also die da verläuft.
Ist das egal wie die verläuft, solange hauptsache an diesen Punkt (1/1) ??
Und wie gehe ich vor um die Steigung zu berechnen ? Wir sollen uns was schriftlich überlegen. Bisher fällt mir nur ein, einfach die Steigung anzuschauen (ist ja eine Gerade, also die Tangente)...aber weiter habe ich keine Ahnung.
Kann mir das jemand erklären ?
Vielen vielen Dank !! |
Martin (Martin243)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Februar, 2002 - 20:26: |
|
Es ist nicht egal, wie sie verläuft, denn es gibt nur eine einzige Gerade, die diese Parabel in genau diesem Punkt berührt und das ist eben die Tangente der Parabel in diesem Punkt.
Überleg dir mal Folgendes (oder besser: zeiche es):
Halt deinen Punkt P(1/1) fest und zieh eine Gerade, die durch P läuft und durch einen anderen Punkt deiner Parabel, sagen wir mal, durch (5/25).
Das ist dann die Sekante durch die beiden Punkte.
Die Steigungen von Sekante und Tangente unterscheiden sich noch recht deutlich.
Jetzt zieh eine Gerade durch P und (4/16),
dann durch P und (3/9),
dann durch P und (2/4).
Man stellt fest, dass die Sekante immer flacher verläuft und sich der obere Schnittpunkt immer mehr deinem Punkt P nähert.
Es ist also zu vermuten, dass in dem Fall, wenn der obere Schnittpunkt, mit dem Punkt P "verschmilzt", nur noch ein einziger Schnittpunkt (Berührpunkt) vorliegt, was eine Tangente auszeichnet.
Also kannst du z.B. eine Näherung der Tangentensteigung berechnen, indem du die Steigungen deiner obigen Sekanten berechnest, z.B.
m1 = (25-1)/(5-1) = 24/4 = 6
m2 = (16-1)/(4-1) = 15/3 = 5
m3 = (9-1)/(3-1) = 8/2 = 4
m4 = (4-1)/(2-1) = 3/1 = 3
Nun lässt sich vermuten, dass die Steigung hier zwei ist (ist sie zufälligerweise auch), aber das kann man nicht immer so einfach bestimmen.
Am besten du gehst jetzt von den Punkten P und (2/4) aus und halbierst die Differenz der x-Werte, also nimmst beim nächsten Mal die Punkte
P und (1,5/2,25), danach
P und (1,25/1,5625), dann
P und (1,125/1,125²) usw.
Natürlich musst du jetzt nicht alles stur ausrechnen, sondern ich wollte dir nur veranschaulichen, wie die Sekante sich immer mehr der Tangente nähert.
Das ganze Spielchen kann man natürlich auch von unten treiben, indem man bei den Punkten
(0/0) und P anfängt, dann
(0,5/0,25) und P nimmt, danach
(0,75/0,5625) und P usw.
Ich hoffe, ich habe dich nicht zu sehr verwirrt. Nötigenfalls kannst du dir das zweimal durchlesen oder dreimal oder viermal oder... usw. ;-) |
Hallo (Merci)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. Februar, 2002 - 10:18: |
|
Hallo, ich hab da ein paar Fragen..
Wie meinst du das, dass das nicht egal ist, wie sie verläuft (also die Tangente) und es nur eine gibt ? Solange die Gerade die Parabel an diesem Punkt berührt und einen anderen der Parabel ist das ok oder ?
Wie du die Steigungen und das alles davor dargestellt hast verstehe ich.
Aber nicht so recht wie du auf die Punkte
P und (1,5/2,25), danach
P und (1,25/1,5625), dann
P und (1,125/1,125²) usw.
kommst.
Vielen Dank! |
Hallo (Merci)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Februar, 2002 - 18:07: |
|
Hi,
ich habe mir das mal öfters angeschaut und habe gemerkt, dass du die Differenz der y-Werte und nicht der x-Werte halbiert hast ??! Und dann immer diesen Wert quadriert und das ist der neue y-Wert ?!
Ist das so ? |
|
