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Beitrag |
    
kaolila
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Februar, 2002 - 23:00: | 
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wie nennt man das noch ... soundsozerlegung?
Schulzeit vor 15J. beendet, daher benötige ich ein paar einfache Aufgaben mit Lösungen, um mich so langsam wieder einzuarbeiten. Bis Sonntag abend wäre nett. |
L
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Februar, 2002 - 00:25: |
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...zerlegung? Keine Ahnung.
Habe mal +zerlegung +gleichungssystem in die Stichwortsuche eingegeben, bin aber auf nichts mir bekanntes getroffen.
Meinst du Gauß-Algorithmus? Dazu 6 Beispiele:
1. Beispiel:
Gegeben ist das Gleichungssystem
x + y + z = 12
2x +3y +4z = 31
3x + y +5z = 34
Gesucht ist natürlich, welche Werte x, y und z alle Gleichungen des Systems erfüllen.
Zuerst: Elimination von x aus der 2. Gleichung:
dazu die erste Gleichung mit -2 malnehmen, die zweite Gleichung so lassen
=> -2x -2y -2z = -24
2x +3y +4z = 31
--------------- addieren
0x + y +2z = 7, diese an die zweite Stelle
schreiben:
x + y + z = 12
0x + y +2z = 7
3x + y +5z = 34
Nun: Elimination von x aus der 3. Gleichung:
dazu die erste Gleichung mit -3 malnehmen, die dritte Gleichung so lassen
=> -3x -3y -3z = -36
3x + y +5z = 34
----------------- addieren
0x -2y +2z = -2 |:2 => -y + z = -1, diese an
dritte Stelle setzen:
x + y + z = 12
y +2z = 7 die zweite und dritte addieren: y+2z = 7
-y + z = -1 -y +z = -1
---------
3z = 6 |:3 => z=2
x + y + z = 12
y +2z = 7
z = 2, dieses in die zweite Gleichung einsetzen =>
x + y + z = 1
y +2*2 = 7 |-4 => y = 3, dieses und z=2 in die erste einsetzen =>
z = 2
x + 3 + 2 = 12 |-5 => x = 7
y = 3
z = 2
Lösungsmenge: IL = {(7;3;2)}
2. Beispiel:
5x + 4y + 9z = 21
3x - 5y + 6z = 7
-10x +6y + 3z = 35
5x + 4y + 9z = 21 |*3 => 15x + 12y + 27z = 63
3x - 5y + 6z = 7 |*(-5) => -15x + 25y - 30z = -35
-10x +6y + 3z = 35 ---------------------- addieren
0x + 37y - 3z = 28 , an zweite Stelle schreiben:
5x + 4y + 9z = 21 |*2 => 10x + 8y + 18z = 42
37y - 3z = 28
-10x +6y + 3z = 35 ... abschreiben ... -10x + 6y + 3z = 35
-------------------- addieren
0x +14y + 21z = 77 |:7 => 2y + 3z = 11, an 3. Stelle
5x + 4y + 9z = 21
37y -3z = 28 |*(-2) => -74y + 6z = -56
2y +3z = 11 |*37 => 74y +111z = 407
---------------- addieren
117z = 351 |:117 => z=3, dieses in 2. Gleichung einsetzen:
5x + 4y + 9z = 21
37y -3*3= 28 |+9 => 37y = 37 |:37 => y=1 , dieses und z=3 in erste Gleichung einsetzen:
z = 3
5x + 4*1 + 9*3 = 21 |-4-27 => 5x = -10 |:5 => x=-2
Lösungsmenge ist IL = {(-2;1;3)}
3. Beispiel:
Gegeben ist das Gleichungssystem
3x-2y+4z=-6
2x+ y-4z=-5
3y-2z= 2
Gesucht ist natürlich wieder, welche Werte x, y und z das System erfüllen.
Zuerst: Elimination von x aus der zweiten Gleichung:
die erste Gleichung mit 2 malnehmen, die zweite Gleichung mit (-3)
3x-2y+4z = -6 | *2 führt auf 6x-4y+ 8z = -12
2x+ y- 4z =-5 | *(-3) ...==>... -6x-3y+12z = 15
3y-2z = 2 ----------------- beide addieren...
0x-7y+20z = 3 und diese neue Gleichung an
die zweite Stelle setzen:
3x-2y+4z = -6
-7y+20z = 3 | *3 ... ==> ...-21y +60z = 9
3y -2z = 2 | *7 ... ==> ... 21y -14z = 14
-------------- beide addieren...
0y +46z = 23 und diese neue Gleichung an die
dritte Stelle setzen:
3x-2y+4z = -6
-7y+20z = 3
46z = 23 |:46 ==> z=½ , dieses Ergebnis in die zweite Gleichung einsetzen =>
-7y +20*½ = 3 |-10 ==> -7y = -7 | : (-7) ==> y = 1, diesen Wert und z=½ in die erste
Gleichung einsetzen =>
3x -2*1 + 4*½ = -6 , zusammenfassen, ... 3x -2+2 = -6 => 3x = -6 |:3 => x = -2
Lösung ist also x=-2, y=1, z=½
Lösungsmenge notieren: IL = {(-2;1;½)}
4. Beispiel:
3x +2y + z = 4 ... einfach abschreiben ... 3x +2y + z = 4
-6x +4y -3z = 5
-x +2y -4z =-7 |*3 ==> -3x +6y -12z = -21
------------------ addieren
8y -11z = -17, diese an dritte Stelle ...
3x +2y + z = 4 |*2 ==> 6x +4y +2z = 8
-6x +4y - 3z = 5 ... einfach abschreiben ... -6x +4y -3z = 5
8y -11z = -17 --------------- addieren
8y -z = 13, diese an zweite Stelle ...
3x +2y + z = 4
8y -z = 13 |*(-1) ==> -8y + z = -13
8y -11z = -17 ... abschreiben ... 8y -11z = -17
-------------- addieren
-10z = -30 | : (-10) ==> z = 3 , an
dritte Stelle ...
und schonmal in zweiter Gleichung z=3 einsetzen...
3x +2y + z = 4
8y -3 = 13 |+3 ==> 8y = 16|:8 ==> y=2, dieses und z=3 in erste Gleichung einsetzen...
z = 3
3x +2*2 + 3 = 4, zusammenfassen... 3x +7 = 4 | -7 ==> 3x=-3 |:3 ==> x=-1
Lösung ist also x=-1, y=2, z=3
Lösungsmenge notieren ...
5. Beispiel:
x + y = 2 |*(-2) ==> -2x-2y = -4
y-13z = -12
2x+5y +3z = 10 .. abschreiben .. 2x+5y +3z = 10
------------- addieren
3y +3z = 6 |:3 ==> y + z = 2, diese an dritte Stelle setzen
x + y = 2
y-13z =-12 ..abschreiben.. y-13z = -12
y + z = 2 |*(-1) ==> -y - z = -2
----------- addieren
-14 z = -14 | : (-14) => z=1, an dritte Stelle setzen ...
.. und in zweiter Gleichung einsetzen...
x + y = 2
y-13*1 = -12 |+13 ==> y=1, dieses in erste Gleichung einsetzen ==> x + 1 = 2 => x = 1
z = 1
Lösung ist x=1, y=1, z=1
6. Beispiel:
2x -6y +7z = 3 |*(-2) ==> -4x +12y-14z=-6
3x -6y+15z = 12
4x-14y+10z = 5 .......... 4x -14y+10z= 5
------------------
-2y-4z = -1 , dieses an dritte Stelle setzen ...
2x -6y +7z = 3 |*3 ==> 6x -18y+21z = 9
3x -6y+15z = 12 |*(-2) ==> -6x +12y-30z = -24
-2y-4z = -1 ---------------------
-6y-9z = -15 | : (-3) ==> 2y +3z = 5
2x -6y +7z = 3
2y +3z = 5 2y +3z = 5
-2y -4z = -1 -2y -4z = -1
-----------
-z = 4 => z=-4
2x -6y +7z = 3
2y +3*(-4) = 5 |+12 ==> 2y = 17 ==> y=8.5
z =-4
2x -6*8.5 +7*(-4) = 3 ==> 2x -51-28 = 3 |+79 => 2x = 82 => x=41
Lösung ist x=41, y=8.5, z=-4
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