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Yvonne (ttoffi)
Neues Mitglied
Benutzername: ttoffi
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 03-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. März, 2003 - 14:03: | 
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Wer kann mir helfen und die Nullstellen von f(x) = x^4 - 6x³ + 13x² -12x + 4 ausrechnen? Aber bitte mit vollständiger Rechnung, da ich nicht verstehe wie das geht wenn ich verschiedene x hab!
Danke Yvonne |
Josef Filipiak (filipiak)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: filipiak
Nummer des Beitrags: 308
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. März, 2003 - 17:38: |
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Gleichungen dritten und höheren Grades mit dem Koeffizienten 1 des höchsten Gliedes können mit Hilfe des Horner-Schemas gelöst werden, indem man die Teiler des absoluten Gliedes findet.
Die möglichen ganzzahligen Lösungen der Gleichung:
f(x)=x4-6x³+13x²-12x+4
sind die Teiler von 4 : ±1; ±2; ±4
Machen wir die Probe für x = 1:
.....1x4-6x³+13x²-12x+4
.....1..-6..+13..-12..+4
1)......+1...-5...+8..-4
.....1..-5...+8...-4...0
Erläuterung: 1*1=1; 1*-5=-5; 1*8=8; 1*-4=-4
x1 = 1 ist also eine Lösung der Gleichung.
Nehmen wir den Wert 2:
....1..-6..+13..-12..+4
2).....+2...-8..+10..-4
....1..-4...+5...-2...0
Erläuterung: 2*1=2; 2*-4=-8; 2*5=10; 2*-2=-4
x2 = 2
anscheinend gibt es nur 2 Lösungswerte, nämlich 1 und 2.
Gruß Filipiak
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bonsek (bonsek)
Moderator
Benutzername: bonsek
Nummer des Beitrags: 26
Registriert: 12-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. März, 2003 - 17:40: |
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hallo
zunächst kommt man durch einfachstes ausprobieren auf die lösung 1. danach kann man durch polynomdivision auf die gleichung x³-5x²+8x-4=0 kommen. hier kommt man genauso auf eine lösung 1. danach kommt man auf die gleichung x²-4x+4=0, was (x-2)²=0 also ist x^4-6³+13x²-12x+4=(x-1)²(x-2)², d.f. x[01]=1 ; x[02]=2
bonsek |
lsdxtc (lsdxtc)
Mitglied
Benutzername: lsdxtc
Nummer des Beitrags: 23
Registriert: 09-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. März, 2003 - 18:05: |
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An Filipiak:
Als interessierter Laie kann ich das mit der 1 noch verstehen, bei der 2 habe ich schon Probleme.
Kannst du das genauer erklären ?, was ist das Horner-Schema ? |
Yvonne (ttoffi)
Neues Mitglied
Benutzername: ttoffi
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 03-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. März, 2003 - 18:10: |
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erstmal danke, aber ich blick da irgendwie total nich durch...
.....1x4-6x³+13x²-12x+4
.....1..-6..+13..-12..+4
1)......+1...-5...+8..-4
.....1..-5...+8...-4...0
wie komm ich denn da auf die -5,+8, -4 ?
was muss ich machen??
hoffe das ich schnell antwort bekomme, da ich morgen die klausur schreib ;) |
Yvonne (ttoffi)
Neues Mitglied
Benutzername: ttoffi
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 03-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. März, 2003 - 18:47: |
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an bonsek:
ich weíß echt nich was ich falsch mache, wenn ich polynomdivision mache kommt bei mir was anderes raus:
x^4 - 6x³ + 13x² - 12x + 4 : (x-1) =
-(x^4 - x³)
5x³
-(5x³ - 5x²)
18x²
-(18x² - 18x)
6x
-(6x - 6)
10
bis jetzt = x³ + 5x² +18x + 6
wie mach ich weiter? bzw. was hab ich falsch gemacht? bitte mit erklärung für extrablöde |
Josef Filipiak (filipiak)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: filipiak
Nummer des Beitrags: 309
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. März, 2003 - 19:10: |
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Horner-Schema (nach W.G. Horner, 1786-1837). Das Horner-Schema dient zur Berechnung von Werten einer Polynomfunktion. Das Horner-Schema ist folgendermaßen aufgebaut:
In der ersten Zeile werden die Koeffizienten von p(x) notiert, wobei für nicht in p vorkommende Potenzen eine Null zu schreiben ist. In der dritten Zeile steht an erster Stelle der Koeffizient an. Die Terme der zweiten Zeile entsehen durch Multiplikation des unmittelbar voranstehenden Terms der dritten Zeile mit x0. Die terme der dritten Zeile sind die Summen der darüber stehenden Terme der ersten und der zweiten Zeile. Als letzten Term in der dritten Zeile erhält man den gesuchten Wert p(x0).
Beispiel: Berechnung des Wertes von p(x)= 3x5-2x4+3 an der Stelle 2.
p(x): 3.-2..0..0..0..3
2)..: ...6..8.16.32.64
......3..4..8.16.32.67
Man erhält also p(2) = 67
In dem Beispiel ist 67 der Zahlenwert des Polynoms 3x5-2x{4}+3
Die übrigen Zahlen sind die Koeffizienten des Quotienten: 3x4+4x³+8x²+16x+32
Die Zahlen sind aus der dritten Zeile des Beispiels 3..4..8.16..32
Beispiel 2:
In dem Fall, dass der Divisor ein Binom der Form x-a ist, wird die Division nach dem Horner-Schema durchgeführt, das ich anhand der division von x4-5x²+6x-2 durch x-3 demonstrieren will:
....1..0..-5...6.-2
3).....3...9..12.24
....1..3...4..18.52
Zunächst habe ich die 1 herabgesetzt. Danach habe ich 1 mit 3 multipliziert, das Resultat unter die 0 geschrieben und addiert. Das Eergebnis wird nun mit 3 multipliziert, under die -5 geschreiben und addiert. Dieser Vorgang wird sooft wiederholt, bis schließlich als Rest 52 übrig bleibt. Die übrigen Zahlen sind die Koeffizienten des Quotienten: x³+3x²+4x+18 (es ist zu beachten, dass im Fall der Division durch x+3 für a der Wert -3 anzunehmen ist).
Es lässt sich für die Division mit Rest folgendes festhalten: Der Rest einer Division durch x-a ist der Zahlenwert des Dividenden für x=a. so ist im Beispiel 52 derZahlenwert des Polynoms x4-5x+6x-2 für x = 3. Das Horner-Schema erlaubt also die Berechnung von Zahlenwerten für Polynome. Wenn aber die Division von f(x) durch g(x) Null als Rest ergibt, so nennt man f(x) teilbar durch g(x); f(x) ist somit ein Vielfaches von g(x) und g(x) ein Teiler von f(x).
Gruß Filipiak
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Josef Filipiak (filipiak)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: filipiak
Nummer des Beitrags: 310
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. März, 2003 - 18:33: |
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Hallo Yvonn,
x4-6x³+13x²-12x+4
...+1..-6..+13..-12..+4
1) ....+1...-5...+8..-4
=..+1..-5...+8...-4...0
Zunächst habe ich die 1 von der ersten Zeile herabgesetz in Zeile 3. Dananch habe ich 1) mit 1 multipliziert, das Resultat 1 unter -6 geschrieben und addiert ( -6++1=-5). DAnn habe ich -5 mit 1) multipliziert. Das Ergebnis (-5) habe ich unter 13 geschrieben und addiert (13+-5=8). Dann habe ich die 8 mit 1) multipliziert, das Ergebnis (8) unter -12 geschrieben und addiert. Das Ergebnis (-4) habe ich unter 4 geschrieben und addiert. Das Ergebnis ist 0. Also eine Nullsteille. Der x-Wert = 1 hat eine Nullstelle.
Die übrigen Zahlen (1-5+8-4) der letzten Zeile sind die Koeffizienten des Quotienten x³-5x²+8x-4.
Um die Nullstellen von x³-5x²+8x-4 zu finden, setzen wir wieder die Teiler von 4 ein.
Ich nehme wieder für x = 1:
...1..-5..8..-4
1)....+1.-4..+4
=..1..-4.+4...0
x = 1 hat ebenfalls ein Nullstelle.
Die übrigen Zahlen (1-4+4) in der letzten Zeile
sind die Koeffizienten des Quotienten x²-4x+4.
Die übrigen Lösungen erhält man, indem man die Gleichung zeiten Grades x²-4x+4=0 löst.
Gruß Filipiak |
Josef Filipiak (filipiak)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: filipiak
Nummer des Beitrags: 311
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. März, 2003 - 18:50: |
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Hallo Yvonne,
.(x4-6x³+13x²-12x+4)/((x-1) = x³-5x²+8x-4
-(x4-x³)
........-5x³+13x²
......-(-5x³+ 5x²)
.............8x²-12x
...........-(8x²- 8x)
.................-4x+4
...............-(-4x+4)
....................0
Gruß Filipiak |
