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F (x) =cos x ???

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klasse 11 » Differentialrechnung » Ableitungen / Differentiationsregeln » erste Ableitung » F (x) =cos x ??? « Zurück Vor »

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Sabrina Flenker (sunnysassa2)
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Benutzername: sunnysassa2

Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 02-2003
Veröffentlicht am Montag, den 24. Februar, 2003 - 13:21:   Beitrag drucken

Hallooo! ich habe da mal eine Frage!! ich sollte die erste ABleitung von f(x) = sin x mit hilfe des Additionstheorem herausfinden, das habe mit Not und mühe noch hin bekommen und nun tut sich die Frage auf bei der ersten Ableitung von
F(x) = cos x! Das kriege ich leider überhaupt nicht hin! Kann mir jemand helfen?
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David (hamilton)
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Benutzername: hamilton

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 02-2003
Veröffentlicht am Montag, den 24. Februar, 2003 - 19:44:   Beitrag drucken

Hallo Sabrina,

schreibe einfach den Differentialquotienten hin:

lim(h->0)(cos(x+h)-cox(x))/h, dann brauchst du das Additionstheorem:
cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b), wendest das auf cos(x+h) an, formst geschickt um auf:

lim(h->0)((cos(x)*(cos(h)-1)/h)-sin(x)sin(h)/h),

wende den Satz von de L'hopital zweimal an, der erste Term fällt weg und der zweite ergibt, erwartungsgemäss: (cos(x))`=-sin(x)

gruss David
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
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Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 945
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 24. Februar, 2003 - 20:11:   Beitrag drucken

f(x) = cos(x);
df = f(x+h) - f(x) = cos(x+h)-cos(x) = -2*sin( x + h/2 )*sin(h/2)

limh->0df/h = -sin(x)*[ 2*limh->0(sin(h/2) / h )]
limh->0df/h = -sin(x)*[ limh->0(sin(h/2) / (h/2) )]; H = h/2
limh->0df/h = -sin(x)*[limH->0(sin(H) / H)]
und
den Grenzwert limH->0(sin(H) / H) hast
Du ja schon für die Sinus-Ableitung benötigt, er ist = 1
(
im übrigen könnte man einfach sagen

cos(x) = sin(90°-x), [cos(x)]' = [sin(90°-x)]' = -cos(90°-x) = -sin(x)
)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]

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