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Stefan (hansibal)
Mitglied
Benutzername: hansibal
Nummer des Beitrags: 21
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Februar, 2003 - 12:05: | 
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Hallo,
ich versuche gerade ein bisschen in Mathe vorzulernen. In meinem Buch ist das nicht sehr gut erklärt. Ich verstehe, die Asymptomaten als grobe Näherung. Das dürfte falsch sein, ich ersuche also um Korrektur. Weiters lese ich, dass eine Asymptomate dann eine Asymptomate zu einer Funktion, wenn sie sich mit der Funktion im unendlichen trifft.
Bei gebrochenen rationalen Funktionen erhält man die Gleichung durch Division. Beispiel:
(8x²-4)/(2x²) Diese Funktion konvergiert gegen 4. Bei Division erhält man 4-4/x².
Geht x gegen unendlich geht 4/x² gegen 0 und der Wert ist 4. Das Ganze trifft sich also im Unendlichen. Allerdings frage ich mich ob die beiden Funktionsgleichungen nicht genau gleich ist. Weiters noch eine Frage zur Konvergenz: 1/2+1/4+1/8+1/16 und so weiter konvergiert gegen 1. Allerdings wird der Restwert immer halbiert. Erreicht diese Reihe im Unendliche jetzt 1 oder nicht.
Danke im Voraus
Stefan |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 386
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Februar, 2003 - 23:51: |
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Bitte zunächst mal: Es heisst: Asymptoten! |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 388
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Februar, 2003 - 11:20: |
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Hallo,
du hast beim Trennen der Summanden (Division) einen Fehler gemacht, denn 4/(2x²) = 2/x². Das ändert allerdings nichts am Grenzwert, dieser ist und bleibt 4.
Und selbstverständlich bezeichnen die beiden Terme (Funktionsgleichungen)
(8x² - 4)/(2x²) und 4 - 2/x² genau die gleiche Funktion.
Beim Grenzübergang, also x -> oo, streben alle Brüche, deren Nenner unendlich groß ist, gegen 0.
Die Tatsache dabei ist, dass dies wirklich erst für unendlich große x gilt, vorher sind diese Brüche nicht 0, sondern nur sehr klein. Das menschliche Vorstellungsvermögen scheitert nun genau genommen beim Begriff "Unendlich". Die Kurve und die Asymptote treffen sich erst im Unendlichen, davor (was auch immer unter "vor dem Unendlichen" zu verstehen ist) kommen sie einander nur sehr nahe. Der Mathematiker umschreibt diese Problematik sehr elegant, indem er formuliert: Die Kurve kommt der Asymptote beliebig nahe, erreicht sie jedoch nicht («asymptotos» gr. "nicht zusammenfallend" bzw. "unnahbar").
Die Asymptote und die Kurve haben einen gemeinsamen (im Unendlichen liegenden) Fernpunkt, sie ist (erst) dort Tangente an die Kurve.
Die Frage bei der Konvergenz der Reihe s_n = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... berührt denselben Problempunkt: Die Reihensumme erreicht sicher den endlichen Wert 1, das aber eben erst bei unendlich vielen Summanden, also muss man dazu unendlich viele Strecken, die sich immer wieder halbieren, aneinanderfügen.
Das menschliche Denkvermögen wehrt sich aber gegen diese Vorstellung, dass dies unendlich oft geschehen kann bzw. muss, und man kommt automatisch in das Dilemma, dass dann eigentlich noch immer ein - wenn auch winzig kleiner - Rest übrigbleibt.
Zu diesem Thema gehört auch das Paradoxon des Zenon von Eleia vom Achilles und der Schildkröte.
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 22., Februar. 2003 von mythos2002 editiert) |
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