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Hallo (merci)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: merci
Nummer des Beitrags: 81
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Februar, 2003 - 19:19: | 
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ft(x)=1/2*x³+1/2x²-tx
a)
Eine Parabel 3. Ordnung verläuft durch den Ursprung, berührt die x-Achse an der Stelle x=-0,5 und geht durch den Punkt P(-2,5/-5). Bestimme die Parabelgleichung.
Untersuche, ob es einen Wert für t gibt, so dass die Parabel eine Kurve Kt ist???
b)
Für welche Wahl von t besitzt ft drei, zwei oder eine Nullstelle(n)?
Untersuche den Sonderfall t=0 bezüglich der Anzahl der Nullstellen.
Bei a) komme ich eigentlich gar nicht weit.
Da habe ich ja die Punkte B(-0,5/0), P(-2,5/-5), U(0/0) gegeben.
Die allgemeine Parabelgleichung lautet:
g(x)=ax³+bx²+cx+d
Für d weiß ich schon, dass d=0 ist.
B in g(x): -1/8a+1/4b+1/2c=0
P in g(x): -125/8a+25/4-5/2c=-5
Ich kann zwar B mit 2 multiplizieren, damit c weg ist, aber das bringt mir nichts...
zu b) habe ich folgendes raus...
ft(x)=1/2*x³+1/2x²-tx
=1/2x(x²+x-2t)
-->x1=0, weil 1/2*0=0
x2,3=-1/2+-sqrt(1/4+2t)
h(t)=1/8+2t=0
t=-1/2
Für dieses t habe ich dann 2 Nullstellen.
für t<-1/2 gibt es insgesamt 1 NST
für t>-1/2 gibt es 3 NST
Für t=0 gibt es auch 3 NST
Ich habe noch eine kleine Frage zu einer anderen Aufgabe, also:
ft(x)=x³2x²-tx
G ist das Schaubild von g mit g(x)=x²+4x
Bestimme t so, dass sich Kt und G im Ursprung berühren. Geben Sie für dieses t die Koordinaten des weiteren Schnittpunktes an.
Also den weiteren Schnittpunkt könnte ich selbst ausrechnen. Aber den ersten Teil verstehe ich nicht.
Muss man da mit ft'(x)=g'(x) rechnen??
(Beitrag nachträglich am 09., Februar. 2003 von merci editiert) |
Michael (michael_h)
Mitglied
Benutzername: michael_h
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Februar, 2003 - 19:56: |
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zu a)
du hast noch eine Bedingung vergessen:
"berührt die x-Achse an der Stelle x=-0,5"
bedeutet, dass g(-0.5)=0 ist und die Funktion g
an dieser Stelle die gleiche Steigung wie die X-Achse hat, also g'(-0.5)=0
berühren bedeutet gleicher Funktionswert und gleiche Steigung
mit diesem Hinweis kannst du den Rest von a) berechnen
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Hallo (merci)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: merci
Nummer des Beitrags: 82
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Februar, 2003 - 20:42: |
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Habe ich auch versucht, aber das bringt mich leider nicht weit...
g'(x)=3ax²+2bx+c
=0,5a-1b+c=0 |
Hallo (merci)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: merci
Nummer des Beitrags: 83
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Februar, 2003 - 21:32: |
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Bei der Aufgabe die ich noch unten gestellt habe, habe ich grad folgendes rausbekommen:
Also bei der Gleichung habe ich das + vergessen, sie lautet also ft(x)=x³+2x²-tx
Ich habe sie dann mit g(x) gleichgesetzt.
Habe dann am Ende folgendes:
-1/2+-sqrt(1/4+4+t)
-->t=-4
Eigentlich kann es nicht das t für den Berührpunkt sein, weil ich dann ja eine doppelte Nullstelle bekommen müsste.
Was mich aber neugierig macht ist folgendes.
Ich habe mal mit g'(x)=ft'(x) gerechnet und dann eben für x=0 gesetzt und habe auch -4 für t rausbekommen.
Woran liegt das? Was habe ich falsch gemacht?
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Cooksen (cooksen)
Mitglied
Benutzername: cooksen
Nummer des Beitrags: 43
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Februar, 2003 - 20:44: |
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Hallo Merci!
zu a)
Allgemeine Gleichung einer Parabel 3. Ordnung: g(x) = ax³ + bx² + cx + d
Ableitung: g'(x) = 3ax² + 2bx + c
Bedingungen:
(1) g(o) = 0 ==> d = 0
(2) g(-0,5) = 0 ==> -(1/8)a + (1/4)b -(1/2)c = 0
(3) g'(-0,5) = 0 ==> (3/4)a - b + c = 0
(4) g(-2,5) = -5 ==> -(125/8)a + (25/4)b - (5/2)c = -5
Das Gleichungssystem hat die Lösungen:
a = 1/2
b = 1/2
c = 1/8
Resultat: g(x) = (1/2)x³ + (1/2)x² + (1/8)x = 0
Dies entspricht der Funktion ft(x) für t = -1/8.
zu b)
In deiner Lösung hat sich ein Fehler eingeschlichen:
h(t)=1/8+2t=0 ==> t = -1/4
Sonst ist alles richtig.
Zusatzaufg.
Der Lösungsansatz lautet g'(0) = ft'(0), da die beiden Graphen sich ja nur im Ursprung berühren sollen:
g'(x) = 2x + 4 ==> g'(0) = 4
ft'(x) = 3x² + 4x - t ==> ft'(0) = -t
Daraus folgt t = -4.
Natürlich hat ft im Ursprung keine doppelte Nullstelle aber eine "doppelte Schnittstelle" mit g.
f-4(x) = g(x)
==> x³ + 2x² + 4x = x² + 4x
==> x³ + x² = 0
==> x = 0 oder x = -1
Gruß Cooksen
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