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Tina (xz7lx3)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: xz7lx3
Nummer des Beitrags: 70
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Februar, 2003 - 05:55: | 
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Die Tabelle zeigt den Beginn einer Aufzählung von Brüchen:
b1=1/1
b2=1/2
b3=2/1
b4=1/3
b5=2/2
b6=3/1
b7=1/4
b8=2/3
b9=3/2
b10=4/1
b11=1/5
etc.
a) beschreibe das hier angewandte Aufzählungsverfahren.
b)Bestimme die Nummer n mit bn=200/3
c) den Bruch mit der Nummer 2003
ich habe das Prinzip erkannt, also beim Zähler
1, dann 1, 2 dann 1, 2, 3 usw.
beim Nenner anders herum, also 1, dann 2, 1 dann 3, 2, 1 etc. Aber wie bekomme ich das in einen Term gepackt, der mir Aufschluß über die weiteren n gibt????
Bitte helft mir
Gruss
Blicknix |
Martin (martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: martin243
Nummer des Beitrags: 745
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Februar, 2003 - 11:55: |
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Hi!
Man muss ein bisschen hin- und herkombinieren, bis man es raus hat, aber man kann sagen (Z=Zähler, N=Nenner):
Gleichung I:
n = Z + Si=1Z+N-2 (i)
Also können wir schnell das n für bn=200/3 bestimmen:
n = 200 + Si=1200+3-2 (i)
= 200 + (200+3-2)(200+3-2+1)/2 = 200+20301
= 20501
Die Aufgabe c) kann ich nicht mit einer expliziten Formel lösen, aber ich hätte da eine Idee:
Wir bezeichnen die Summe (Z+N-2) als m. Es ist klar, dass m eine natürliche Zahl ist.
Es gilt nach obiger Formel:
n = Z + Si=1m (i)
Da Z unbekannt, aber auf jeden Fall positiv ist, können wir nur schätzen:
n >= Si=1m (i)
Also:
n >= m(m+1)/2
Wir erhalten die quadratische Ungleichung:
m2 + m - 2n < 0
Also: (nur die postitive Lösung, also m>0)
m < -1/2 + Ö(1/4 + 2n)
Da wir nun die größte ganze Zahl suchen, die kleiner als der Term ist, benutzen wir die Gaußklammer:
m = [ -1/2 + Ö(1/4 + 2n) ]
Nun haben wir also Z+N-2=m und können damit aus Gleichung I den Zähler Z berechnen:
n = Z + Si=1Z+N-2 (i)
<=> Z = n - Si=1Z+N-2 (i)
Und schließlich auch den Nenner N:
m = N+Z-2
<=> N = m+2-Z
Jetzt rechnen wir deinen Fall durch:
n=2003
N+Z-2 = m = [ -1/2 + Ö(1/4 + 2n) ]
= [ -1/2 + Ö(1/4 + 2*2003) ]
= [ 62,7949... ]
= 62
Z = n - Si=1Z+N-2 (i)
= 2003 - Si=162 (i)
= 2003 - 62*63/2
= 50
N = m + 2 - Z
= 62 + 2 - 50
= 14
Wir machen die Probe (vorausgesetzt, Gleichung I ist korrekt!):
n = Z + Si=1Z+N-2 (i)
= 50 + Si=162 (i)
= 50 + 62*63/2
= 2003
Stimmt!
Natürlich nur, wenn ich zwischendurch keine Fehler gemacht habe...
MfG
Martin
(Beitrag nachträglich am 03., Februar. 2003 von martin243 editiert) |
Martin (martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: martin243
Nummer des Beitrags: 746
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Februar, 2003 - 12:04: |
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Einen Makel hat mein "Lösungsalgorithmus" zu Aufgabe c):
Es gibt Sonderfälle:
Wenn nämlich bei der Berechnung von Z gemäß der Formel:
Z = n - Si=1Z+N-2 (i)
der Wert Z=0 herauskommt, dann gilt:
N=1 und Z=m+2-N
Das ergibt sich eben, wenn der Wert der Gaußklammer gleich dem Wert ohne Gaußklammer ist, da man eigentlich ein m sucht, das echt kleiner ist als die Lösung der quadratischen Gleichung.
Aber das nur so am Rande...
MfG
Martin
(Beitrag nachträglich am 03., Februar. 2003 von martin243 editiert) |
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