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Beitrag |
    
Nicolas
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. März, 2000 - 16:12: | 
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Ich brauche Informationen über die Taylorsche-Reihe in Bezug auf den arctan.
arctan(x)=x -x^3/3 +x^5/5 -+... ; -1<x<=1
Aus welchem Grund ist die Taylorsche-Reihe unendlich?
Warum ist arctan(x)= x -x^3/3 +x^5/5 -+...
Warum muß x zwischen -1 und 1 liegen?
Wie beweise ich die Konvergenz der Gleichung?
Wer kann mir bitte helfen?
Vielen Dank schon mal!
Nicolas |
h.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. März, 2000 - 17:30: |
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Hi Nicolas,
Wenden wir uns zunächst Deiner Aufgabe zu, Pi auf verschiedene Arten auf 10 Dezimalen genau zu berechnen. In früheren Antworten habe ich Dir schon zwei Methoden vorgeführt, die im folgenden nochmals erwähnt werden .
Die Gregory-Reihe (Arcustangens-Reihe) für sich allein ist zu diesem Zweck völlig ungeeignet, da sie zu langsam konvergiert.
Bessere Resultate erhält man , wenn gewisse arctan - Relation benützt
Folgende vier Berechnungen führen mit vernünftigem Rechenaufwand zum Ziel.
Ich empfehle Dir, die Rechnungen mit einem guten Taschenrechner oder, noch
Besser, mit einem CAS auf dem PC nachzuvollziehen.
1.Art : nach Euler ; verwendete Relation : Pi = 4 * (arc tan 1/2 + arc tan 1/3).
Mit Gregory berechnen wir je insgesamt 17 Summanden:
A= arc tan ½:
A=1/2-1/3*1/2^3 + 1/5 *1 / 2^5 - ... +1/33 *1 / 2^33 = 0.46364760900
B= arc tan 1/3
B= 1/3 -1/3*1/3^3 + 1/5 * 1/3^5 - .. +1/33 * 1/3^33 = 0.32175055439
Damit erhalten wir die Näherung für Pi:
N1 = 4 A + 4 B = 3.14159265359
2.Art: nach Dahse (1844) , benützte Relation:
Pi = 4 * ( arc tan 1 / 2 + arc tan 1 / 8 + arc tan 1 / 5
Mit Gregory berechnen wir je insgesamt 13 Summanden:
C = arc tan 1/ 8
C = 1/8 -1/3*1/8 ^3 + 1/5* 1/8^5 -.. +1/27* 1/8^27 =0.12435499454
D .= arc tan 1/5
D = 1/5 - 1/3 * 1/5^3 +1/5*1/5^5 -..+ 1/27*1/5^27 = 0.19739555984
Damit erhalten wir die Näherung für Pi:
N2 = 4* A + 4 *C + 4* D = 3.14159265359
wie bei der ersten Methode, dafür kamen wir mit weniger Summanden
aus !
Fazit: die Methoden bewähren sich. ausgezeichnet.
3: Art : nach John Machin, benützte Relation
Pi = 16 arc tan 1/5 - 4 arc tan 1/239 ;diese Methode ist in diesem
Umfeld die weitaus wirksamste. Mit ihr hat der Engländer Shanks
1873 insgesamt 707 Stellen von Pi berechnet , und dies blieb
mehrere Jahrzehnte lang als Rekord bestehen , bis grundsätzlich
andere Methoden zur numerischen Berechnung von Pi
gefunden wurden.
4.Art Mit der Laurentenwicklung für die Arc tan - Funktion
Zu den Methoden 3 und 4 habe ich mich früher bereits detailliert geäussert.
Den Konvergenzradius der arctan-Reihe haben wir mit dem Quotientenkriterium von Cauchy bestimmt. Was noch bleibt ,ist die Herleitung dieser Reihe.
Ich werde später darauf zurückkommen !
Inzwischen freundliche Grüsse von H. R. |
nicolas
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. März, 2000 - 18:27: |
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Ich habe Ihnen/Dir bereits eine E-Mail zukommen lassen!
Ich finde es supernett, dass Sie/Du mir so hilfreich zur Seite stehen.
Mit freundlichsten Grüßen
Nicolas |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. März, 2000 - 20:34: |
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Hi Nicolas,
ich werde Dir morgen auf zwei verschiedene Arten die Arcustangens-Reihe herleiten und wir wollen die Fälle x = 1 & x = -1 untersuchen .
Du kannst mir "Du" sagen , es soll dies auf Gegenseitigkeit beruhen ,obwohl eine gewisse Altersdifferenz vorhanden sein wird.
Mit freundlichen Grüssen
Hans Rudolf |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. März, 2000 - 12:13: |
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Hi Nicolas,
Hier die lang ersehnte Herleitung der Arcustangens - Reihe.
Ich stelle Dir zwei Methoden zur Auswahl vor; naturgemäss sind beide anspruchsvoll, ich werde mich aber bemühen, nur auf das Wesentliche
einzugehen und gewisse mathematische Skrupel bei der Herleitung beiseite zu lassen.
Eine erste Methode benützt die gliedweise Integration einer unendlichen geometrischen Reihe, eine zweite Methode benützt die Taylorentwicklung nach Mac Laurin . Für beide Vorhaben solltest Du gewisse Vorkenntnisse mitbringen.
Die erste Methode ist besonders elegant, bei der zweiten Methode ist eine umfangreiche Rechnung zur Bestimmung der höheren Ableitungen erforderlich
1. Methode
Wir gehen von der unedlichen geometrischen Reihe mit dem Anfangsglied
a =1 und dem Quotienten q = - x^2 aus (beachte das Minuszeichen!) .
Diese Reihe konvergiert , wenn q dem absoluten Betrag nach kleiner als 1 ist , d.h . in unserem Fall, wenn x zwischen den Werten -1 und +1 liegt , die Grenzen des Intervalls ausgenommen.
Die Summe S der Reihe ist S = a / (1- q ) = 1 / (1 + x ^2 )
Jetzt ist es aber an der Zeit ,diese Reihe anzuschreiben:
1 - x ^ 2 + x ^ 4 - x ^ 6 + x ^ 8 - ... (ad infinitum)... = 1 / ( 1 + x ^2 )
gültig - wie gesagt - für -1 < x < 1.
Jetzt integrieren wir beide Seiten unbestimmt, Integrationsvariable x., auf der linken Seite Glied um Glied , auf der rechten Seite gemässe einer (bekannten ?)
Formel; wir vergessen nicht, etwa auf der rechten Seite,eine Integrationskonstante C zu addieren. Der langen Rede kurzer Sinn ist das Resultat:
x - 1 / 3 x ^ 3 + 1 / 5 x ^ 5 - 1 / 7 x ^ 7 + 1 / 9 x ^ 9 -... = arc tan x + C
Die Beziehung sollte auch für x = 0 richtig sein , d.h . muss null gesetzt werden.
Damit ist die Gregory-Reihe hergeleitet.
2.Methode
Wir benötigen für die Taylorentwicklung die Werte der Ableitungen der Funktion f(x) = arc tan x jeweils an der Stelle x = 0
Die Herleitung dieser Werte ist sehr mühsam und kann bei Bedarf nachgeliefert werden ;man muss die Quotientenregel und die Kettenregel à fond beherrschen!
Alle geraden Ableitungen für x = 0 sind null, die ungeraden sehen so aus:
f ' (o) = 1 , f '''(0) = - 2 = - 2 ! , f'''''(0) = 24 = 4 ! ..;die Vorzeichen wechseln ab
allgemein: die (2k + 1) - te Ableitung für x = 0 lautet : (-1)^k * ( 2 k) ! also
z.B die 99. Ableitung L) (mit k = 49) lautet : - 98!.
Nun lautet das allgemeine Glied der Taylorentwichlung in der Form von Mac Laurin: x^n / n ! * n-te Ableitung an der Stelle null , die Summation
erstreckt sich über k von k = 0
bis unendlich.
In unserem Fall ensteht das allgemeine Glied x^(2k+1) / (2k+1) ! * (-1) ^ k * (2 k) ! = (-1) ^ k / (2k+1) * x ^ (2k+1) , k von 0 bis unendlich , diese Reihe stellt aber arc tan x dar und die Reihe ist somit erneut hergeleitet .
Damit sind wir am Ziel angelangt; einige Auslassungen aber mussten in Kauf genommen werden
Mit freundlichen Grüssen.
H.R.
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H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. März, 2000 - 13:30: |
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Hi Nicolas,
Bis jetzt haben wir folgendes nachgewiesen: Die durch die unendliche Reihe x - x ^ 3 / 3 + x ^ 5 / 5 - x ^ 7 / 7 + ...
dargestellte Funktion F(x) stimmt für x-Werte mit dem Absolutbetrag
kleiner als 1 mit der Arcustangens - Funktion arc tan (x) überein.
Jetzt soll noch gezeigt werden:
I Die Reihe konvergiert auch für x = 1 , Summe S.
II S ist gleich Pi / 4 , d.h. es gilt (nach Leibniz) :
1 - 1 / 3 + 1 / 5 - 1 / 7 + .... = Pi / 4.
Beide Behauptungen sind nicht trivial, und sie müssen sorgfältig bewiesen
werden.
Zu I:
Wir bilden von der unendlichen Reihe 1 -1/3+ 1/5-1/7 +1/9 -..
die Teilsummen und zwar solche mit einer ungeraden Anzahl Summanden und solche mit einer geraden Anzahl Summanden.
Zum ersten Typus gehören die Teilsummen:
s1 = 1 , s3 = 1 - ( 1/3 - 1/5) , s5 = 1 - (1/3 - 1/5) - (1/7 - 1/9)
allgemein: Teilsummen mit ungeraden Indizes sehen so aus:
s(2k-1) = 1 - (1/3 - 1/5) - (1/7 - 1/9) - .. - ( 1 / (4k-5) - 1 / (4k-3))
Zum zweiten Typus gehören die Teilsummen:
s2=1 -1/3 = 2/3 , s4 = (1-1/3) + (1/5 - 1/7) , s6 = ( 1 - 1 / 3 ) + ( 1 / 5 - 1 / 7) + ( 1 / 9 - 1 / 11 )
allgemein: Teilsummen mit geraden Indizes sehen so aus:
s(2k) = (1-1/3) + (1/5-1/7) +... + ( 1 / (4k-3) -1 / (4k-1) )
Wir erhalten somit folgende Ungleichungsketten:
1= s1 > s3 > s5 > s7 > .... > s(2k-1)
2/3 = s2 s2 , s3 > s4 , .... s(2k-1) > s(2k)
Die Folge der ungeraden Teilsummen ist somit streng monoton fallend und nach unten beschränkt (untere Schranke 2/3),
die Folge der geraden Teilsummen ist streng monoton steigend und nach oben beschränkt (obere Schranke 1).
Nach einem bekannten Satz sind solche unendliche Zahlenfolgen konvergent.!
Der Grenzwert der Folge der ungeraden Teilsummen sei u , derjenige der geraden Teilsummen sei v.
Dann gilt also lim s(2k-1) = u ( für k gegen unendlich) und lim s(2k) = v (für k strebt gegen unendlich)
Jetzt berechnen wir die Differenz dk = s(2k-1) -s(2k) und erhalten dk = 1/(4k-1).
Für k gegen unendlich geht diese Differenz dk gegen null wie man sofort sieht.
Andrerseits gilt: lim (dk) =lim (s(2k-1)-s(2k)) = lim(s(2k-1)) -lim(s(2k)) = u -v ( der Grenzwert einer Differenz ist gleich der Differenz der einzelnen Grenzwerte.
Folgerung: u = v : die beiden Grenzwerte stimmen überein und somit
strebt die Teilsumme sn = 1 -1/3 +1/5 - 1/7 +.. + (-1)^(n-1) * 1 / (2n-1)
mit wachsendem n gegen ein und denselben Grenzwert u = v , der Summe S der Leibniz-Reihe. Auf Grund der Herleitung wissen wir zunächst bloss: S liegt zwischen den Schranken 2/3 und 1.
Zu II.
Hier muss nachgewiesen werden, dass die durch die Gregory - Reihe erklärte Funktion F(x) bei x = 1 mindestens linksseitig stetig ist.
(Diesen Nachweis lassen wir weg).
Wegen der Stetigkeit der Arcustangens - Funktion an dieser Stelle gilt dann in der Tat:
Die vorhin bestimmte Summe S stimmt mit Pi / 4 überein und der verlangte Nachweis ist - mit der angegebenen Beweislücke - erbracht.
Das sollte wirklich nun reichen Danke für die Geduld !
Mit den besten Grüssen
H.R.
. |
Nicolas
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. März, 2000 - 14:08: |
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Hallo Hans Rudolf,
Ich habe den Konvergenzbeweis nicht verstanden.
Ich möchte nicht zu viel Zeit von Dir in Anspruch nehmen, aber würdest Du ihn mir bitte noch einmal erklären?
Mit freundlichen Grüßen
Nicolas
(Nicocare@aol.com) |
Nicolas
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. März, 2000 - 14:21: |
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Ich hab noch was vergessen!
Wer hat bewiesen das Potenzreihen termweise ableitbar sind?
x - x^3 / 3 + x^5 / 5 - x^7 / 7 + ...= arctan(x)
Ableitung:1- x^2+ x^4- x^6..=1/1+x^2 (arctan(x)')
Ist die Ableitung nicht die Geometrische Reihe?
Kannst du mir sagen aus welchem Grund die Reihe unendlich ist? (Sinn,Zweck)
Ihr
Nicolas
Ps:Wo kommen sie überhaupt her? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. März, 2000 - 21:30: |
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Hi Nicolas,
Diesmal sollen es nur ein paar Ergänzungen und sonstige Bemerkungen sein:
1. Bevor ich weiter auf Konvergenz beweise eingehe (welchen der beiden
Beweise hast Du nicht verstanden ?) , möchte ich Dir empfehlen , an zwei
numerischen Beispielen übungshalber die Konvergenz mit dem
Quotientenkriterium oder anders nachzuweisen ( lass Dir dabei helfen ! )
Diese unendlichen Reihen sind folgende:
a) allgemeines Glied: ak = 1 / ( (2k+1) *3 ^ k) , k läuft von 0 bis unendlich
b) allgemeines Glied bk = (-1) ^ k / ( (2k + 1)* 3 ^ k) , k wie bei a)
(sie haben mit unserem Thema etwas zu tun !)
Beide Reihen konvergieren und haben die folgenden Summen
(dies brauchst Du nicht zu beweisen; es wäre viel zu schwierig!)
zu a): Summe S = 3 / (2wurzel(3)) * ln tan (5*Pi /12) = 1.140518995
zu b): Summe S = wurzel(3) * Pi / 6 =0.9068996827
2. Mit der gliedweisen Ableitung der Gregory-Reihe und des arct tan hast Du
(ein Erfolgserlebnis !) eine geometrische Reihe erhalten. Gerade von dieser Reihe bin ich ausgegangen und habe durch gliedweises Integrieren die Gregory-Reihe erhalten ; darin steckt der Grundgedanke für die gewünschte Herleitung der Reihe. Du bist also in diesem Punkt sehr nahe dran !
3. Ohne Beweis , nur à titre d ' information , sei mitgeteilt :
Eine Potenzreihe Summe(ak * x^k ) , ( k = 0 bis unendlich) , darf im
Inneren des Konvergenzintervalls - r < x < r ( r: Konvergenzradius)
gliedweise differenziert oder gliedweise integriert werden und der
Konvergenzradius der differenzierten oder der integrierten Reihe ändert sich
nicht .
4. Die Potenzreihen und andere Reihen dienen u.a. dazu, (schon bekannte oder noch unbekannte ) Funktionen zu definieren und zu berechnen.
Beispiele: e ^ x und ln x , trigonometrische und zyklometrische Funktionen,
hyberbolische Funktionen, Areafunktionen , Gammafunktion u.s.w.
5 Zum Schluss habe ich selbst ein Anliegen: ich möchte gerne ( ganz privatim) in Erfahrung bringen , an welcher Schule oder für welche Berufsausbildung Du mit solch schwergewichtigen Problemen konfrontiert wirst .
Mit den besten Wünschen und Grüssen
H.R. |
nicolas
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. März, 2000 - 14:08: |
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Hallo Hans Rudolf,
ich muss im Matheleistungskurs Klasse 12 Gymnasium eine Facharbeit über diesen Thema schreiben. Mir deiner Hilfe (Danke!) werde ich das auch schaffen.
Falls ich noch Fragen habe, stelle ich sie (Dir) auf dieser Seite.
Nochmals DANKE!
Mit freundlichen Grüssen
Nicolas |
Nicolas
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. März, 2000 - 16:02: |
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Hallo,
ich hab den ersten Konvergenzbeweis nicht verstanden. Würdest du ihn mit bitte noch einaml ausführlich, Schritt für Schritt erklären?
(der mit dem Konvergenzradius!- Wozu ist der da?
ich möchte doch den Grenzwert bekommen.)
M.F.G Nicolas |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. März, 2000 - 10:27: |
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Hi Nicolas,
Vorerst eine Klärung der Begriffe.
Bei einer vorgegebenen unendlichen Reihe stellen wir zuerst fest, ob sie konvergiert oder nicht (im letzten Fall spricht man von Divergenz). Konvergenz der Reihe bedeutet :
die unendliche Folge der Teilsummen der Reihe konvergiert, besitzt also einen Grenzwert.
Und genau dieser Grenzwert der Teilsummenfolge wird als Summe der Reihe bezeichnet.
Die Begriffe "Summe" und "Grenzwert" dürfen in diesem Zusammenhang nicht durcheinander gebracht werden .
Bei der Benützung der Konvergenzkriterien kann entschieden werden, ob die Reihe konvergent oder divergent ist ;die Ermittlung der Summe erfolgt, wenn dies überhaupt gelingt, in einem zweiten Umgang.
Die Feststellung der Konvergenz und die Ermittlung der Summe sind zwei verschiedene
Aufgaben.
Im folgenden verwenden wir das Quotientenkriterium von Cauchy, das für das vorgelegte Problem völlig ausreicht und zwar in der Form , in welcher der beim Kriterium auftretende Quotient einen Grenzwert hat .
Das Kriterium in dieser Gestalt lautet: Eine unendliche Reihe mit dem allgemeinen Glied ak (k=0 bis unendlich) konvergiert, wenn der absolute Betrag des Quotienten des (k+1)-ten Gliedes und des k-ten Gliedes für k gegen unendlich einen Grenzwert g hat , der kleiner als eins ist.
Ist hingegen g > 1 , so divergiert die Reihe (Im Fall g = 1 kann zunächst kein Entscheid getroffen werden, es sind subtilere Untersuchungen nötig).
Für die Gregory-Reihe sieht die Rechnung so aus:
allgemeines Glied a(k)= (-1) ^ k * x ^ (2 k+1) / ( 2 k+1) , das darauf folgende Glied mit dem Index k+1 lautet (ersetze einfach k durch k+1) :
a(k+1) = (-1) ^( k+1) * x ^ ( 2* k + 3) / ( 2 k + 3 )
der absolute Betrag des Quotienten a ( k + 1 ) / a ( k ) ist , wie Du leicht berechnen kannst :
q(k) = (2 k + 1) / (2 k + 3) * x ^ 2 : Du siehst sofort, dass der Bruch vor x^2 für k gegen unendlich gegen 1 strebt ;
somit gilt: der Grenzwert von q(k) für k gegen unendlich ist g = x ^ 2
Dieser Grenzwert g ist nun kleiner als 1 - wie Cauchy es für die Konvergenz verlangt-
für x absolut kleiner als 1 ; ist hingegen x absolut grösser als 1, so ist die Reihe divergent
Man sagt nun - eine façon de parler- die Reihe hat den Konvergenzradius eins.
Den Fall des Remis mit x =1 (und x = -1) haben wir früher separat untersucht.
Besprich diese Angelegenheit weiter in Deinem Arbeitskreis für Mathematik. Es wird Dir ,
so hoffe ich wenigstens, einiges klar werden !.
Mit freundlichen Grüssen
H.R. |
franz
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. März, 2000 - 10:59: |
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Hat "Radius" was mit Funktionentheorie zu tun?? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. März, 2000 - 12:46: |
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Antwort an Franz,
Dies trifft tatsächlich zu.
Bei komplexen Potenzreihen sum (a ( n ) * z ^ n , n = 0 .. infinity) , z komplex , spielt der Konvergenzradius r eine wichtige Rolle , wie die beiden folgenden Sätze aus der Funktionentheorie zeigen:
1. Konvergiert eine Potenzreihe für einen beliebigen von null verschiedenen Wert z = c so konvergiert sie (unbedingt) für jeden Wert von z,dessen Absolutbetrag kleiner als derjenige von c ist.
Geometrisch ausgedrückt heisst dies: sie konvergiert im gesamten Inneren des Kreises mit
Mittelpunkt im Nullpunkt und Radius c absolut.
2. Eine Potenzreihe ,die nicht für alle Werte von z konvergiert und auch nicht nur für z= 0,hat stets einen wohlbestimmten Konvergenzkreis mit der Eigenschaft, dass sie innerhalb dieses Kreises überall konvergiert und ausserhalb überall divergiert.
Ueber das Verhalten der Reihe auf dem Konvergenzkreis kann keine allgemeine Aussage gemacht werden Es können nämlich dabei tatsächlich die folgenden drei Fälle auftreten:
Die Reihe konvergiert in keinem, sie konvergiert in allen oder nur in einzelnen Punkten der Peripherie.
Zur Sprechweise: In der reellen Analysis sollte man vielleicht besser von Konvergenz -intervall und der zugehörigen Breite sprechen , doch " Konvergenzradius " setzt sich mehr und mehr durch.
Deine Frage ,Franz , wirkte sehr anregend, und es gäbe noch viel dazu zu erzählen
Mit freundlichen Grüssen
H.R. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. März, 2000 - 13:31: |
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Nochmals an Franz,
Dass die Ränder des Konvergenzintervalls und allgemeiner die Peripherie des Konvergenzkreises besonders untersucht werden müssen ,zeigt das folgende Beispiel:
Die Taylorentwicklung der Funktion f(x) = ( 1 + x ) ^ ( - 5/2) im Nullpunkt als Zentrum der Entwicklung (Mac Laurin) beginnt so (Berechnung mit Mapple V):
1 - 5/2* x + 35/8 * x^2 - 105/16 * x^3 + 1155/128 * x^4 -3003/256 * x^5 + 15015/1024 * x^6
Der " Konvergenzradius " dieser Reihe ist r = 1 .
Für x = 1 stellt sich Divergenz ein , wie man leicht bestätigt.
Dieses zur Ergänzung
Mit Gruss: H.R. |
Nicolas
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. März, 2000 - 14:33: |
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Ich bräuchte noch mehr allgemeine Informationen über die Taylorsche-Reihe!
So zB. warum ist arctan gleich Taylorsche-Reihe?
Informationen, über das unendliche der TaylorschenReihe. (Warum)
Mit freundlichen Grüßen
Nico |
NIcolas
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. März, 2000 - 15:47: |
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Hallo,
Eine weitere Sache die ich nicht genau verstanden habe ist die FEHLER-ABSCHÄTZUNG! Es wäre nett, wenn Du sie mir noch einmal erklären könntest.
Mit freundlichen Grüßen
Nico |
Nicolas
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. März, 2000 - 16:16: |
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Neben der Fehler-Abschätzung (Berechnung der Zahl Pi) ist mir noch unklar wieviele Summanden ich nehmen muss!
Eine Erleuterung würde mir weiterhelfen!
Danke im Voraus.
M.F.G
Nicolas |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. März, 2000 - 18:47: |
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An Nicolas,
Bezüglich Deiner letzen drei Anfragen möchte ich meine persönliche Meinung zum Ausdruck bringen
Dein Thema ist von mir selbst in hinreichender Ausführlichkeit behandelt worden .Inzwischen haben sich nämlich zu Deiner Frage Antworten angesammelt, die im Board mehr als 75 KB beanspruchen (Archiv Nr.2457 und 2548); nicht ,dass mich mein Aufwand reuen würde .Aber einmal muss
die Angelegenheit abgeschlossen sein .Zu eben diesem Abschluss noch drei Empfehlungen meinerseits :
1. Du musst die Grundlagen der Reihenlehre erarbeiten und die Anfangsgründe der Taylorentwicklung selbst studieren. Zu diesem Zweck schaffe Dir doch ein gutes Lehrbuch an , das Dich in dieses Gebiet einführen kann. Solche gibt es in genügender Anzahl.
2. Nach erfolgten Grundstudien wirst Du meine bisherigen Ausführungen nochmals gründlich lesen und vieles davon kapieren . Du wirst dann auch sehen ,wie viele Glieder für die verlangte Dezimalbruchentwicklung nötig sind ;anhand meiner Ausführungen lässt sich das ohne Mühe feststellen.
3. Die erwähnte Fehlerabschätzung kannst Du weglassen , weil dieses
Thema für Anfänger wirklich zu schwierig ist
Nun aber wünsche ich Dir - trotz allem - viel Erfolg beim Studium.
Gruss: H.R. |
bitte
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. August, 2000 - 13:54: |
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was ist eine komplexe reihe? habe es eilig
bitte bitte |
Ralf
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. August, 2000 - 23:43: |
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das ist eine Reihe, die nicht nur für reelle Zahlen, sondern auch für komplexe Zahlen definiert ist.
Du weißt was komplexe Zahlen sind?
Ralf |
Dennis
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Februar, 2001 - 22:29: |
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Hallo!
Ich brauch ganz unbedingt Hilfe bei meinem Facharbeitsthema:Die Taylor-reihe im Zusammenhang mit der Mac Laurinschen Reihe...
Leider hab ich nur noch wenig Zeit um diese fertigzustellen,weil ich mich bisweiln selbst daran versucht habe.
Bitte helft mir!
Also vielen Dank schon mal im Vorraus...
cu,Dennis |
Juppie
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Februar, 2001 - 08:35: |
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Hallo Dennis,
Neue Frage - neuer Beitrag. |
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