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HELP
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Januar, 2002 - 18:40: | 
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ein kellerfenster mit gegebenem umfang soll die form eines rechtecks mit aufgesetztem halbkreis erhalten. wie sind seine abmessungen zu wählen, damit das fenster möglichst viel licht einlässt?
bitte helft mir GANZ schnell! ist echt wichtig!
lg HELP |
Ulf (Silverhawk)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Januar, 2002 - 09:29: |
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Hi HELP,
zunächst suchen wir unsere Zielfunktion, also die Fläche. Die setzt sich aus den beiden Teilen Rechteck und Halbkreis zusammen.
Nehmen wir an, b wäre die Grundseite des Rechtecks, a die Höhe des Rechtecks und r der Radius des Halbkreises.
A = a*b + Pi/2 * r²
Da haben wir nun drei unbekannte. Um das Problem lösen zu können brauchen wir noch zwei Hilfsfunktionen. Die eine finden wir im Umfang des Fensters:
U = 2a + b + Pi*r
Die andere ergibt sich aus dem Zusammenhang b=2*r
Damit haben wir drei Unbekannte und drei Gleichungen. Die beiden Hilfsfunktionen setzt man nun derart in die Flächenfunktion ein, dass man immer eine Variable eleminiert.
aus dem Umfang folg: a = 1/2 * (U-b-Pi*r)
eingesetzt in die Fläche:
A=1/2 * (U-b-Pi*r)*b + Pi/2 * r²
mit b=2r folgt nach ein paar Umformungen
A= U*r - (2+Pi/2)*r²
Diese Funktion wird nach r abgeleitet und null gesetzt:
A' = U - (4+Pi)*r = 0
=> r= U/(4+Pi)
Um sicher zu gehen noch die 2. Ableitung:
A''= -(4+Pi) < 0
Die 2. Abl. ist immer kleiner 0, also handelt es sich bei dem gefundenen Extremum tatsächlich um ein Maximum.
Über die Zusammenhänge der beiden Hilfsfunktionen lassen sich nun auch noch a und b berechnen:
b=2r = 2*U/(4+Pi)
a = 1/2 * (U-b-Pi*r) = 1/2 * (U - 2*U/(4+Pi) - Pi*U/(4+Pi)) = 1/2 * (U - (2+Pi)*U/(4+Pi))
So, ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet. Bei solch allgemeinen Berechnungen schleichen sich nämlich immer mal gerne Fehler ein.
Also: Setze zur Kontrolle doch gleich von Beginn an deine gegebenen Werte ein und rechne alles nochmla nach ...
Viel Spaß, Gruß Ulf |
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