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Kayah
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Januar, 2002 - 20:06: | 
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Hi,
Kann mir vielleicht jemand erklären wie ich die Schnittpunkte einer Parabel mit einem Kreis bestimme?
Weil ich bei folgendere Aufgabe nicht weiter komme.....
Bestimme die Schnittpunkte des Graphen der Funktion x -> x^2 (also die Normalparabel) mit dem Einheitskreis....
Was muss ich da machen?? Ich hoffe jemand kann mir helfen!!
DANKE!  |
Ulf (Silverhawk)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Januar, 2002 - 17:58: |
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Hi Kayah,
wie die Parabel kann man auch den Kreis als Funktionsgleichung schreiben in der Form
x²+y²=r² , wobei r der Radius des Kreises, bei dir also 1 ist. Die Gleichung für den Einheitskreis heißt also: x²+y²=1
Schnittpunkte berechnet man dadurch, dass man zwei Funktionsgleichungen gleichsetzt. Das machen wir auch hier. Wir lösen die Gleichung für den Einheitskreis nach y auf. Dann erhalten wir die beiden folgenden Gleichungen:
y=x² (Parabel)
y=(1-x²)^(1/2)
wenn wir das Ganze nun gleichsetzen erhalten wir den folgenden Term (nach Quadrieren und Umsortieren):
x^4 + x^2 -1 = 0
wir substituieren x² durch z, da wir mit der 4. Potenz nicht so einfach weiterrechnen können.
=> z² + z - 1 =0
Darauf können wir die pq-Formel anwenden und bekommen als eine Lösung 0,618 heraus. Die andere Lösung ist hier negativ und interessiert uns nicht weiter, da wir ja nochmals die Wurzel ziehen müssen, um wieder auf das x zu kommen.
=> x= 0,786 oder x= -0,786
Das sind die beiden Schnittstellen. Der dazugehörige y-Wert lässt sich leicht über eine der beiden Funktionsgleichungen errechnen, z.B. die Parabel:
y=x² => y = 0,618
Die beiden Schnittpunkte liegen also bei
(0,786; 0,618) und (-0,786; 0,618)
Ich hoffe, das war soweit verständlich ...
Gruß Ulf |
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