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Manuel Gorka (Görki)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Januar, 2002 - 18:17: | 
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Beim Bau eines Geschäftshochhauses werden die Bauplatz- und Planungskosten mit 1,4 Millionen DM veranschlagt, das Erdgeschoß mit 200 000 DM. Jede weitere Etage wird 10 000 DM mehr kosten als die vorangehende. Später wird jede Etage monatlich 10 000 DM an Miete einbringen. Wieviele Etagen sind nötig, wenn ein möglichst günstiges Verhältnis der Baukosten zu den monatlichen Mieteinnahmen erzielt werden soll?
Ich habe wirklihc kein Schimer!!!
Drauche die Antwort bis Morgen!
Danke für die Hilfe im Voraus!!! |
OliverKnieps (Oliverk)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Januar, 2002 - 19:31: |
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Hi Manuel,
hier nun die (hoffentlich richtige) Lösung deiner Aufgabe:
Sei K(x) die Funktion, die jeder Etagenanzahl x die gesamten Kosten des Baus zuordnet, und sei E(x) die Funktion, die die Erlöse des Geschäftshochhauses bei einer Etagenanzahl von x Etagen zuordnet, definiert sich das Verhältnis Q folgendermaßen:
Q = K(x) / E(x). Q ist dann möglichst günstig, wenn es ein Minimum einimmt, also der Quotient am Kleinsten ist.
Nun versuchen wir mal, K(x) herzuleiten:
Die Erschließungskosten von 1.400.000 DM fallen als fixe Kosten an, ebenso die Kosten für das Erdgeschoß. Wenn nun jeder weitere Etage 10.000 DM mehr kostet als die vorhergehende, dann entsteht doch eine arithmetische Reihe:
<210.000,220.000,230.000,....>
Die Summenformel für arithmetische Reihen ist bekannt und lautet Sn = (n/2)[2a1 + (n-a)d]. Bezeichnen wir x als n, also sei wie gesagt x die Anzahl der gebauten Etagen, dann finden wir:
K(x) = 1.400.000 + 200.000 + (x/2)[420.000 + (x-1)*10.000]
Beachte, das wir unsere Reihe erst ab dem 1. Stockwerk beginnen, also ist a1 = 210.000!
Fassen wir K(x) noch etwas zusammen, indem wir die Klammern ausmultiplizieren, dann findet sich:
K(x) = 5000x² + 205.000x + 1.600.000
Nun zu unserer Erlösfunktion. Diese ist besonders einfach zu bestimmen: Bei insgesamt x Etagen fallen x*10.000 DM Mieteinahmen an, also ist
E(x) = 10.000x
Mit der Definition unseres Verhältnises Q können wir schreiben:
Q(x) = (5000x² + 205.000x + 1.600.000)/(10.000x)
und auch hier wieder nach Beseitigung des Bruches etwas übersichtlicher:
Q(x) = (1/2)x + 20,5 + (160/x)
Nun soll Q(x) ein Minimum annehmen. Zweimaliges Ableiten ergibt:
Q'(x) = 1/2 - (160/x²) und
Q''(x) = 320/x³
Auflösen von Q'(x) = 0 nach x liefert: xe = Wurzel 320,das ist ungefähr 17,88. Da man selten 17,88 Etagen baut, wollen wir großzügig auf 18 Etagen aufrunden. Das es sich tatsächlich um das geforderte Minimum handelt, zeigen wir, indem wir xe in Q''(x) einsetzen. Es gilt dann Q''(xe) > 0.
Bei 18 gebauten Etagen ist das Verhältnis zw. Kosten und Erlösen also am Günstigsten.
Ich hoffe, ich konnte Dir weiterhelfen. Bei Fragen melde dich einfach jederzeit wieder bei mir!
Viele Grüße
 Oliver |
Manuel Gorka (Görki)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Januar, 2002 - 22:32: |
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Vielen Dank!!!
Du hast mir sehr geholfen! |
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