| Autor |
Beitrag |
    
Seidi
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Januar, 2002 - 19:20: | 
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Hi all
Also gleich vorweg, ich bin ne Flasche in Mathe
Ich hab ein Problem mit folgender Aufgabe:
----------------------------------------------
Sind die Geraden g und h aufeinander normal? Ändere die 3. Koordinate des Punktes der Geraden h so ab, daß die Geraden einander schneiden und Berechne den Schnittpunkt.
g =[2,1,-2]+t[-1,1,-4]
h =[3,2,3]+s[-3,1,1]
-----------------------------------------
Also normal sind sie nicht aufeinander da ihr Skalarprodukt null ist.
Die 3. Koordinate hab ich auch schon (bei mir -29) aber ich weiß dann nicht mehr weiter ... ???
Was muss ich dann tun damit ich den Schnittpunkt bekomme
please help me |
Ulf (Silverhawk)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Januar, 2002 - 10:54: |
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Hi Seidi,
also, erstmal vorweg: deine Berechnung des Skalarproduktes ist richtig .... Die Schlussfolgerung allerdings nicht: zwei Geraden stehen normal (oder auch senkrecht) zueinander wenn ihr Skalarprodukt eben GLEICH null ist ... daraus folgt, dass die beiden Gerade in deinem Beispiel normal zueinander stehen ...
Die Berechnung deiner 3. Koordinate ist meines Erachtens auch nicht richtig:
Überlegung: Wenn sich zwei Geraden schneiden sollen, dann muss man sie gleichsetzen. In diesem Fall also noch mit eine unbekannten dritten Koordinate. =>
[2,1,-2]+t[-1,1,-4] = [3,2,x]+s[-3,1,1]
dabei ist x die noch zu bestimmende 3. Koordinate.
Nun erhält man daraus ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten, nämlich s,t und x
2-t = 3-3s (1)
1+t = 2+s (2)
-2-4t = x+s (3)
mit Hilfe der zweiten Gleichung eleminieren wir das t aus den beiden anderen vor dem Pfeil steht, wie ich die jeweilige Gleichung danach errechnet habe. Die Zahlen in Klammern sind die Gleichungsnummern von oben =>
(2) -> 1+t = 2+s (4)
(1)+(2) -> 3 = 5-2s (5)
4*(2)+(3) -> 2 = 8+x+5s (6)
mit der Gleichung (5) eleminieren wir das s aus der Gleichung (6)
(4) -> 1+t = 2+s (7)
(5) -> 3 = 5-2s (8)
5*(5)+2*(6) -> 19 = 41+2x (9)
aus Gl. (9) folgt: x=-11
mit diesem Ergebnis gehen wir wieder zurück in die Gleichung (6) und berechnen s
=> 2 = 8-11+5s => s=1
dieses s bestimmt nun unseren Schnittpunkt (wir hatten ja vorher die beiden Geradengleichungen gleichgesetzt). Wir setzen es einfach in die Gleichung für h ein und ergalten als Schnittpunkt S=[3,2,-11]+1*[-3,1,1] = [0,3,-10]
Zur Probe berechnen wir noch das t und setzen es in die Gleichung für g ein. Es muss sich dergleiche Schnittpunkt ergeben.
Aus Gl. (7) folgt also mit dem berechneten s: 1+t = 3 => t=2
eingesetzt in g ergibt sich: S'=[2,1,-2]+2*[-1,1,-4] = [0,3,-10] .
Da S=S' haben wir den richtigen Schnittpunkt errechnet.
Ich hoffe, du konntest folgen. Vile Spaß, Ulf |
Ulf (Silverhawk)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Januar, 2002 - 10:56: |
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Hi Seidi,
also, erstmal vorweg: deine Berechnung des Skalarproduktes ist richtig .... Die Schlussfolgerung allerdings nicht: zwei Geraden stehen normal (oder auch senkrecht) zueinander wenn ihr Skalarprodukt eben GLEICH null ist ... daraus folgt, dass die beiden Gerade in deinem Beispiel normal zueinander stehen ...
Die Berechnung deiner 3. Koordinate ist meines Erachtens auch nicht richtig:
Überlegung: Wenn sich zwei Geraden schneiden sollen, dann muss man sie gleichsetzen. In diesem Fall also noch mit eine unbekannten dritten Koordinate. =>
[2,1,-2]+t[-1,1,-4] = [3,2,x]+s[-3,1,1]
dabei ist x die noch zu bestimmende 3. Koordinate.
Nun erhält man daraus ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten, nämlich s,t und x
2-t = 3-3s (1)
1+t = 2+s (2)
-2-4t = x+s (3)
mit Hilfe der zweiten Gleichung eleminieren wir das t aus den beiden anderen vor dem Pfeil steht, wie ich die jeweilige Gleichung danach errechnet habe. Die Zahlen in Klammern sind die Gleichungsnummern von oben =>
(2) -> 1+t = 2+s (4)
(1)+(2) -> 3 = 5-2s (5)
4*(2)+(3) -> 2 = 8+x+5s (6)
mit der Gleichung (5) eleminieren wir das s aus der Gleichung (6)
(4) -> 1+t = 2+s (7)
(5) -> 3 = 5-2s (8)
5*(5)+2*(6) -> 19 = 41+2x (9)
aus Gl. (9) folgt: x=-11
mit diesem Ergebnis gehen wir wieder zurück in die Gleichung (6) und berechnen s
=> 2 = 8-11+5s => s=1
dieses s bestimmt nun unseren Schnittpunkt (wir hatten ja vorher die beiden Geradengleichungen gleichgesetzt). Wir setzen es einfach in die Gleichung für h ein und ergalten als Schnittpunkt S=[3,2,-11]+1*[-3,1,1] = [0,3,-10]
Zur Probe berechnen wir noch das t und setzen es in die Gleichung für g ein. Es muss sich dergleiche Schnittpunkt ergeben.
Aus Gl. (7) folgt also mit dem berechneten s: 1+t = 3 => t=2
eingesetzt in g ergibt sich: S'=[2,1,-2]+2*[-1,1,-4] = [0,3,-10] .
Da S=S' haben wir den richtigen Schnittpunkt errechnet.
Ich hoffe, du konntest folgen. Viel Spaß, Ulf |
Ulf (Silverhawk)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Januar, 2002 - 11:02: |
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sorry,
das System meldet einen Internal-Server-Error, nimmt die Nachricht aber trotzdem an ... darum die doppelte Sendung.
Ulf |
Seidi
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Januar, 2002 - 11:51: |
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Die z Koordinate war ein Abschreibfehler ..
Danke Danke Danke
Ich weiß jetzt wie es geht .. Und bin wieder ein bisschen weiter im SA stoff
gracias
Seidi |
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