| Autor |
Beitrag |
    
Anonym
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. März, 2000 - 11:21: | 
|
Hey - wie zeige ich:
Ist f:[-a,a] -> [-b,b], x-> f(x) eine stetige, monotone Funktion, deren Werte das Intervall [-b,b] durchlaufen und ist f punktsymmetrisch zu 0(0/0), so ist auch die auf [-b,b] definierte Umkehrfuntkion von f punktsymmetrisch zu 0(0/0)
Bitte helft mir - Danke |
Ralf
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. März, 2000 - 15:11: |
|
Die Punktsymmetrie zum Ursprung heißt ja:
f(x)=-f(-x) in [-a,a]
Sei g die Umkehrfunktion mit g(f(x))=x für alle definierten x,f(x).
Zu zeigen ist (da sich die Stetigkeit und Monotonie auf die Umkehrfunktion überträgt):
g(f(x))=-g(-f(x))
Da f(x)=-f(-x) => -f(x)=f(-x) => -g(-f(x))=-g(f(-x))=-(-x)=x=g(f(x))
Das war jetzt nicht eine 100% exakte Formulierung, aber ist da ok und hast Du das gesamte verstanden oder hast Du Fragen?
Ralf |
Leah
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. März, 2000 - 18:56: |
|
Danke - soweit habe ich das schon verstanden - alle Folgerungen zumindest - aber den ersten Ansatz nicht wirklich - wie komme ich denn darauf ??? Und - naja, das hört sich ziemlich dumm an, aber wo ist denn das Intervall [-b;b] hin - oder hat das mit dem ganzen gar nichts zu tun? |
Ralf
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. März, 2000 - 20:18: |
|
Leah, der erste Ansatz ist die mir bekannte Definition der Punktsymmetrie zum Ursprung. Aber sag ruhig, welche Definition ihr hattet? Wenn Du Zahlenwerte einer Beispielfunktion einsetzt, dann wird es Dir sicher auch anschaulich plausibel.
Ok, g ist auf [-b,b] definiert und zwar auf dem ganzen Intervall, da f(x) ja laut Definition das ganze Intervall [-b,b] durchläuft.
Ralf |
Leah
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. März, 2000 - 18:07: |
|
Ach ja - irgendwie habe ich die Definition nur nicht erkannt - wir haben die gleiche :)
Mit dem Intervall ist auch logisch - vielleicht ist das ganze doch nicht so schwer. Noch eine Frage - wie zeige ich, dass etwas stetig ist - ich meine gibt's da eine andere Möglichkeit als den komplizierten delta-epsilon-Bereich Beweis? Ich weiss, das hat nicht wirklich etwas mit der Aufgabe zu tun, aber ich würde es trotzdem gerne wissen - Danke nochmal - Leah |
Bodo
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. März, 2000 - 18:48: |
|
Hi Leah,
eine anderer Stetigkeitsbeweis geht so:
f ist in x0 stetig, wenn für jedes x->x0 auch f(x)->f(x0) geht.
Auf Deutsch: Keine Sprünge in den Funktionswerten, egal wie man sich dem x0 annähert, ob von links oder rechts oder abwechselnd ... .
Ist Dir das anschaulich klar, was das mit der Stetigkeit zu tun hat?
Bsp:
f(x)=2x ist stetig für jedes x=x0, da für x->x0 offenbar auch f(x)=2x->2x0=f(x0) erfüllt ist.
Einverstanden?
Bodo |
SpockGeiger
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. März, 2000 - 00:40: |
|
Hi Folks
Ich finde, am allereinfachsten ist es, wenn man Funktionen auf bekannte zurueckfuehrt, so sind z.B. alle rationalen Funktionen stetig in ihrem Bereich, usw., Eigentlich sind so gut wie alle in der Schule bekannten Funktionen stetig, und es gibt Saetze, die besagen, dass Summen, Produkte, Verkettungen, Quotienten, und ich weiss nicht was von stetigen Funktionen stetig sind. Das einzige Problem tritt auf, wenn Funktionen intervallweise definiert sind... Dann fuehrt man meiner Meinung nach am besten an diesen Stellen das Verfahren von Bodo durch...
Gruss
SpockGeiger |
Leah
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. März, 2000 - 11:47: |
|
Hey - also was Stetigkeit ist, dass die meisten Funktionen, die wir behandeln stetig sind und was das für einen Graph bedeutet ist mir schon klar, aber wie beweise ich das? Ich meine, mein Mathelehrer will immer alles streng bewiesen haben - dann bleibt mir nichts anderes übrig als der Epsilon-Delta-Beweis, oder? Der Vorschlag mit der Annäherung ist logisch, aber reicht das als Beweis aus? Weitergehend - wie steht es mit der Stetigkeit einer Umkehrfunktion? Bzw wie beweise ich, dass eine Umkehrfunktion stetig ist, wenn die dazu gehörige umgekehrte Funktion stetig ist???
Leah |
Zaph
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. März, 2000 - 17:20: |
|
Hi Leah.
Wenn I ein Intervall ist und f: I -> J (J Teilmenge von IR) eine umkehrbare ("bijektive") Funktion ist, dann ist die Umkehrfunktion ebenfalls stetig.
Wenn I kein Intervall ist, so ist das nicht mehr korrekt.
Um den Sachverhalt zu beweisen braucht man, glaube ich, den "Zwischenwertsatz". Kennst du den? Zum Beweis reicht auch eine Folgerung aus dem Zwischenwertsatz: Eine auf einem Intervall definierte, stetige Funktion ist streng monoton. |
Zaph
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. März, 2000 - 17:22: |
|
Nochmal ich!
Die Funktion f soll natürlich stetig sein. Habe ich vergessen hinzuschreiben. |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. März, 2000 - 18:33: |
|
Hi Zaph,
Ich denke, du hast nicht "stetig" vergessen sondern "injektiv".
Ist eine auf einem Intervall definierte Funktion injektiv und stetig, so ist sie streng monoton.
Gruß, Fern |
Zaph
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. März, 2000 - 19:56: |
|
Fern, ich sehr wohl "stetig" vergessen. Der Satz soll lauten:
Wenn I ein Intervall ist und f: I -> J (J Teilmenge von IR) eine umkehrbare
("bijektive"), stetige Funktion ist, dann ist die Umkehrfunktion f-1: J -> I ebenfalls stetig. |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. März, 2000 - 20:22: |
|
Hi Zaph,
Ich meinte deinen allerletzten Satz vor deiner Nachricht um 18:22.
Außerdem: eine "umkehrbare" Funktion ist "injektiv", nicht unbedingt "bijektiv". |
Zaph
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. März, 2000 - 20:31: |
|
Oh, ja, du hast recht! |
Leah
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. März, 2000 - 13:37: |
|
Hey - was ist denn "bijektiv" und "injektiv" ??? Egal, den Zwischenwertsatz ... ist das der Mittelwertsatz? Also wenn eine monotone Funktion stetig ist, dann ist auch die Umkehrfunktion stetig? Ich glaube ich habe das jetzt so weit verstanden ... ausser bijektiv und injektiv eben. Na dann, ganz ganz vielen lieben Dank :) Leah |
Zaph
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. März, 2000 - 20:16: |
|
Hi Leah, einen Beweis hat hier ja noch keiner hingeschrieben, sondern nur, was man für einen Beweis für Voraussetzungen benötigt.
Hier aber erstmal zu deinen weiteren Fragen:
Eine Funktion heißt "injektiv", wenn jeder Funktionswert höchstens ein mal angenommen wird. So ist z.B. die Funktion f(x) = x² nicht injektiv, da f(1)=1 und f(-1)=1, der Funktionswert 1 also zwei mal angenommen wird. Dagegen ist die Funktion f(x)=ex injektiv. Am Funktionsgraphen siehst du einer Funktion die Injektivität an, indem du eine beliebige zur x-Achse parallele Gerade zeichnest. Ist die Funktion injektiv, dann schneidet die Gerade den Funktionsgraphen immer höchstens ein mal.
Eine Funktion f: I->J (Definitionsbereich I und Bildbereich J) heißt "surjektiv", falls jeder Wert im Bildbereich als Funktionswert mindestens einmal drankommt. Die Funktion f: IR -> IR, f(x)=x² ist nicht surjektiv, denn f(x) ist z.B. niemals -1. Wenn der Bildbereich aber eingeschränkt wird auf die Zahlen >=0 (f: IR -> IR>=0), ist die Funktion surjektiv.
Eine Funktion heißt "bijektiv", wenn sie injektiv und surjektiv ist. In diesem Fall gibt es zu jedem Bildwert b einen und nur einen Wert a mit f(a) = b. Die Funktion ist umkehrbar. Es ist f-1(b) = a.
Der Zwischenwertsatz ist etwas anderes als der Mittelwertsatz. Der Zwischenwertsatz besagt: Wenn f eine stetige Funktion ist, die für (mindestens) alle x mit a <= x <= b definiert ist, dann gibt es für jeden Bildwert z mit f(a) <= z <= f(b) ein c mit f(c) = z.
Die Umkehrfunktion einer monotonen, stetigen Funktion ist nur dann notwendigerweise stetig, wenn die Funktion auf einem Intervall definiert ist. |
|
