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Beitrag |
    
Martin Joschko
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. März, 2000 - 20:15: | 
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Hallo
unter http://www.spektrum.de/themen/mathefebruar2000.html habe ich eine Aufgabe gefunden die sinngemäßlautet:
Um ein achteck ist ein Kreis gezogen, 4 aufeinanderfolgende Seiten sind 3m lang und 4 aufeinanderfolgende Seiten sind 2m lang wie groß ist die Fläche?
Ich habe mit dem Sinussatz folgende Gleichungaufgestellt:
8*arcsin 1,5/r + 8*arcsin 1/r = 360°
bzw.
arcsin 1,5/r + arcsin 1/r = 45°
dann reichten meine Mathe Kenntnisse nicht mehr aus um diese Gleichung aufzulösen.
Durch ausprobieren bin ich auf r= 3,2775995
Wer Weiß Rat
Danke Martin |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. März, 2000 - 08:28: |
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Hi Martin
Glückwunsch !! Deine geometrischen Ueberlegungen sind offenbar richtig. Die Formel zur Berechnung von r ebenfalls. (rechts solltest Du Pi/2 statt 90 schreiben). Zur Auflösung kannst Du das Additionstheorem des arc sin verwenden .
Der Näherungswert ist o.k.
Das Problem lässt sich übrigens auch mit dem Kosinussatz lösen
Ich komme im Laufe des Tages auf diese Aufgabe zurück.
Gruss H.R. |
SpockGeiger
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. März, 2000 - 14:24: |
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Hi
Mich wuerde auch interessieren, was fuer Additionstheoreme es fuer die Umkehrfunktionen gibt, und wiue man sie herleitet, danke im voraus
Gruss
SpockGeiger |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. März, 2000 - 14:25: |
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Hi Martin,
Wir lösen Deine Gleichung
arc sin 1.5 / r + arc sin 1 / r = Pi / 4 ,
wie in der Vorschau angekündigt , mit Hilfe des Additionstheorems der Arcussinus -Funktion:
arc sin x + arc sin y = arc sin ( x* wurzel (1- y ^ 2) + y * wurzel ( 1- x ^ 2 ) )
gültig für x^2 + y^2 < = 1 .
Wir setzen x = 1.5 / r , y = 1 / r und r ^ 2 = z ein und erhalten :
1.5 * wurzel (z -1) + wurzel (z - 2.25) = wurzel(2) / 2 * z , eine veritable Wurzelgleichung für z = r^2 .
Durch Quadrieren und Zusammenfassung entsteht schliesslich die
Gleichung vierten Grades in z :
4 z ^ 4 - 52 z ^3 + 97 z ^2 = 0. Da z von null verschieden ist, bleibt für uns die
quadratische Gleichung 4 z ^ 2 - 52 z + 97 = 0 mit der einzigen relevanten Lösung z = (52 + wurzel (1152) ) / 8 = 10,74264069 als Näherungswert.
Durch Wurzelziehen kommen wir im wesentlichen auf Deine Lösung r = 3.277596786
Wir haben beide Applaus verdient !
Fortsetzung mit einer anderen Methode folgt später.
Mit freundlichen Grüssen
H.R. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. März, 2000 - 16:07: |
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Hi Spock Geiger,
Du findest die Additions- und Subtraktionstheoreme der zyklometrischen Funktionen (Arcusfunktionen) , inklusive Geltungsbereich , in den umfangreicheren Formelsammlungen,
z.B. im Taschenbuch der Mathematik von Bronstein / Semendajew.
Die entsprechende Formel für den arc sin , die ich in obiger Lösung benützt habe, kann - wie alle anderen auch - aus dem entsprechenden Additionstheorem der Sinusfunktion hergeleitet werden , etwa so:
Sei arc sin x = u , arc sin y = v , dann ist damit ex definitione gleichbedeutend :
x = sin u und y = sin v.
Für s = sin (u + v ) schreiben wir mit dem Additionstheorem des sinus :
s = sin (u + v) = sin u cos v + cos u sin v oder:
s = sin ( u + v) = sin u * wurzel( 1 - sin^2 v) + wurzel (1-sin^2 u) * sin v , andersherum:
u +v = arc sin ((x* wurzel(1- y^2) + wurzel (1 - x^2)*y) , u + v aber ist gerade die Summe
arc sin x + arc sin y , damit ist die Formel, wenigstens formal , hergeleitet.
Mit freundlichen Grüssen
H.R. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. März, 2000 - 08:45: |
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Hi Martin,
Wir lösen nun Deine Aufgabe von Anfang an mit einer anderen Methode.
Das Achteck setzt sich aus acht gleichschenkligen Dreiecken zusammen , die alle ihre Spitzen im Mittelpunkt des Kreises haben und alle Schenkel haben die Länge r .Vier Dreiecke haben je die Basislänge 3 und den Winkel A an der Spitze , die vier andern Dreiecke haben die Basislänge 2 und den Winkel B an der Spitze. Es gilt 4A + 4B = 2 Pi, also A + B = Pi / 2.
Wendet man für jeden Typus eines solchen gleichschenkligen Dreiecks den Kosinussatz an , so erhält man die folgenden Gleichungen:
9 = r^2 + r^2 - 2 r^2 * cos A = 2 r ^2 ( 1 - cos A) Gleichung 1
4 = r^2 + r^2 - 2 r ^2 * cos B = 2 r^2 ( 1 - cos B ) Gleichung 2
Bei der Division der ersten Gleichung durch die zweite wird r eliminiert und es entsteht die Gleichung 9 / 4 = ( 1-cos A) / (1- cos B) , ersetzt man darin noch cos B durch sin A, so erhält man die goniometrische Gleichung für den Winkel A : 9 sin A - 4 cos A = 5 .
Isoliert man darin sin A , quadriert und ersetzt sin A durch cos A , so kommt der Reihe nach :
81 sin ^2 A = 16 cos ^ A + 40 cos A + 25
97 cos ^2 A + 40 cos A - 56 = 0 ; dies ist eine quadratische Gleichung für cos A
mit der einzigen brauchbaren Lösung cos A = o.5811 , woraus A = 0.9507 entspringt.
Mit diesem Wert für den Winkel A erhalten wir mit Gleichung 1 schliesslich r = 3.2776 wie vordem.
Diese Aufgabe aus dem " Spektrum der Wissenschaft " hat ein wenig für Abwechslung gesorgt ; solche Aufgaben sind an und für sich erwünscht und
bewahren uns vor Einseitigkeit.
Ich möchte bei dieser Gelegenheit auf die Monatszeitschrift "Wurzel" aufmerksam machen, welche an der Uni Jena erscheint und interessante,
allerdings etwas anspruchsvolle Aufgaben mit Lösungen und lehrreiche
Artikel zur Schulmathematik enthält . Das einzelne Heft kostet 1.00 DM , ist aber um vieles mehr wert !!
Hier die Adresse: www.wurzel-ev.de
Mit freundlichen Grüssen
H.R. |
Franz
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. März, 2000 - 21:52: |
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Existiert übrigens die "alpha" noch? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. März, 2000 - 23:39: |
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An Franz,
Noli dubitare litteras meas ! Warum sollte man bei einer derart gewichtigen Aufgabe die Winkel alpha und beta nicht durch grosse griechische Buchstaben A und B bezeichnen ?
Weiterhin gute Zusammenarbeit und freundliche Grüsse !
H.R. |
Franz
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. März, 2000 - 11:03: |
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Grüß Gott! "alpha" bezeichnet hier eine (möglicherweise untergegangene) mathematische Schülerzeitschrift. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. März, 2000 - 11:46: |
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Hallo Franz,
Ein amüsantes Missverständnis meinerseits !
Gruss H.R. |
Martin Joschko
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. März, 2000 - 20:45: |
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Hi
Von den Additionstheoremen hatte ich bis jetzt noch nichts gehört oder gelesen, damit werde ich mich nochmal in ruhe beschäftigen müssen, die sind im Moment noch eine Nummer zu hoch für mich!
zu der Aufgabe
1.5 * wurzel (z -1) + wurzel (z - 2.25) = wurzel(2) / 2 * z
wo ist das /r und /z geblieben und was ist mit wurzel(2) / 2 * z gemeint.
Dem Geometrischen Ansatz bei der Lösung über den Cosinussatz kann ich folgen, aber sin A durch Cos A ersetzen da wird es schwieriger.
Trotzem Danke für die Lösung
Martin |
H.R.megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. März, 2000 - 08:44: |
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Hi Martin,
Ich versuche, Deine Fragen von gestern zu beantworten.
1. An das Additionstheorem der Arc sin -Funktion muss man sich etwas gewöhnen. Ich gebe Dir ein Uebungsbeispiel:
Zu berechnen sei z = arc sin (1/2) + arc sin (wurzel (3) / 2)
Die Antwort kann sofort gegeben werden : z = Pi / 6 + Pi / 3 = Pi / 2
Mit der Formel ( siehe meine früheren Angaben) entsteht :
z = arc sin [1/2* wurzel (1 -3 / 4) + wurzel (3) / 2 * wurzel (1-1/4) ] =
arc sin [1/2 * 1/2 + wurzel(3) / 2 * wurzel(3) / 2] = arc sin 1 = Pi / 2
wie soeben.
2. Zu Deiner Frage "wo ist 1 / r geblieben ? ". Antwort:
Aus Deiner Gleichung entsteht mit dem soeben erwähnten Additionstheorem zunächst:
arc sin [1.5 / r * wurzel( 1-1 / r^2) + 1/r * wurzel ( 1 - 2.25 / r^2) ] = Pi / 4
daraus folgt sofort wegen sin (Pi/4) = 1 / wurzel (2) und mit einer kleinen Umformung bei den Wurzeln: :
1.5 / r^2 * wurzel (r^2 - 1 ) + 1/ r ^2 * wurzel ( r^2 - 2.25 ) = 1 /wurzel (2)
Auf der rechten Seite kann auch wurzel(2) / 2 geschrieben werden (erweitern des Bruchs mit wurzel(2) !)
Setzt man nun r ^2 = z im Sinne einer Substitution und schafft durch erweitern mit r^2 = z alle Brüche weg , so entsteht schliesslich die von mir angegebene Gleichung für z. Später taucht r mit r = wurzel(z) wieder auf !
3. a) zu sin A, cos B : A und B sind komplementäre Winkel ,
daher gilt cos B = sin A
b) " sin A durch cos A ersetzen " ist cum grano salis zu verstehen :
gemeint ist: (sin A) ^ 2 durch 1 - (cosA) ^2 ersetzen.
Hoffentlich tragen diese Erläuterungen etwas zum Verständnis bei
Mit freundlichen Grüssen
H. R.
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Martin Joschko (Martinj)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. August, 2000 - 17:57: |
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Trig. Funktion
Hallo ich gerade dabei mich ein wenig mit den Trigonometrischen Funktionen und den Additionstheoremen zu befassen, blicke aber noch nicht ganz durch deshalb, habe ich zwei neue Fragen.
Wie komme ich von
cos x / -cot x => -sinx
Additionstheoreme
x= (2 sin (a+b)/2)(cos (a-b)/2)(2cos (a+b)/2)(sin (a-b)/2)
soll sein
=sin(a+b)sin(a-b)
nur wie komme ich da hin
Vielen Dank im vorraus |
Kai
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. August, 2000 - 22:30: |
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1) cos x / -cot x = cos x / -(cos x / sin x) = (cos x * sin x) / -cos x = -sin x
Ok?
2) Wende auf beiden Seiten die Additionstheoreme des Sinus und des Cosinus an (kennst Du, oder?), dann kannst Du eine Menge auf beiden Seiten zusammenfassen oder wegstreichen und erhälst das gewünschte. |
Martin Joschko (Martinj)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. August, 2000 - 12:01: |
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Hallo
Da hätte ich auch selber drauf kommem können, trotzdem Danke.
Ich habe noch eine neue Aufgabe
Nr. 509 h in meiem Buch a bis g habe ich herausbekommen.
(sin 2a*cos a)/((1+cos 2a)*(1+cos a)) |
marjorie
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Dezember, 2000 - 14:16: |
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Hallo!
Kann mir jemand die Ableitung der Arcusfunktionen erläutern? Das wäre echt nett. Vor allen die der Arcsin und Arccos...
Danke schön schon mal im Voraus..
bye marjorie |
anonym
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Dezember, 2000 - 19:31: |
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Hallo marjorie,
Bei neuer Frage bitte neuen Beitrag öffnen! |
Tobias
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Januar, 2001 - 11:21: |
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Ich habe ein Facharbeit über Arcusfunktionen zu schreiben.Ich weiß aber nicht was für punkte wichtig sind.Könnten sie mir bei der Gliederung und der Einleitung helfen?
Ich bedanke mich im voraus... |
Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Januar, 2001 - 15:35: |
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Hallo Tobias,
Wichtig wäre vor allem, dass du für eine neue Frage einen neuen Beitrag öffnest. |
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