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Melanie
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. März, 2000 - 16:01: | 
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Hat jemand eine Idee,wie man diese Aufgabe angeht?
Einer Halbkugel mit dem Radius 20 cm soll ein Zylinder mit maximalem Volumen einbeschrieben werden. |
STEFAN
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. März, 2000 - 20:17: |
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Elegant finde ich immer die Symmetriemethode:
Nehmen wir statt einer Halbkugel eine Kugel und schreiben dort den Zylinder ein. Dann erkennt man im Querschnitt, daß mit D=Kugeldurchmesser, d=Zylinderdurchmesser und h=Zylinderhöhe gilt:
D²=d²+h² Das Volumen eines Zylinders berechnet sich zu V=A*h , V=Pi*r²*h
Somit hast Du einen Zusammenhang zwischen Kugeldurchmesser und Zylindervolumen.
Die Lösung für die Kugel ist auch für die Halbkugel gültig, eben wegen der Symmetrie...
Gruß STEFAN |
HPcalc
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. März, 2000 - 21:23: |
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hi melanie,
du nimmst die zylindervol.formel: V=rz^2*PI*h
stell dir einen kreis (Kugel im Schnitt) in einem rechtwinkeligen koordinatensystem vor. der mittelpunkt d. kreises ist der nullpunkt. zeichne eine gerade mit dem winkel alpha durch den nullpunkt. bis dorthin wo sich der kreis mit der geraden schneidet ist r=20cm. von dort senkrecht nach unten bis zur x-achse ist y. vom nullpunkt bis zum schnitt der gerade erwähnten y ist x. du siehst es ist ein rechtwinkeliges dreieck.
jetzt nur noch mit den winkelfunktionen auflösen:
y=r*sin(Alpha)
x=r*cos(Alpha)
nun in die volformel einsetzen:
V=(r*cos(Alpha))^2*PI*r*sin(Alpha)
dV/dAlpha ableiten und nullsetzen, da ein extremum eine waagrechte tangente hat, und x ausrechnen.
jetzt der schnelle oder der langsame weg:
der langsame:
du bekommst den winkel alpha für V=max.
nun setzt du ihn in y=r*sin(Alpha), x=r*cos(Alpha) ein. und rechnest y und x aus.
die errechneten y und x werte setzt du nun wiederum in die Volumensformel ein.
V=x^2*PI*y
der schnelle:
einfach alpha gleich in V=(r*cos(Alpha))^2*PI*r*sin(Alpha) einsetzen und schon hast du das maximale volumen.
mein ergebnis:
Vmax=9673,5921cm^3
Radius vom Zylinder=16,32993
Höhe vom Zylinder=11,54700
viel spass |
OliverK
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. März, 2000 - 17:12: |
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Hallo HPCalc,
die Lösung der Aufgabe vollzieht man sogar noch eleganter, wenn man die Nebenbedingung mit Hilfe des Phythagoras aufstellt.
Es ist also
H = Zylinderhöhe
r = Radius der Kugel
R = Radius des Zylinders
Damit gilt:
r² = H² + R²
20²= H² + R²
Als Hauptbedingung stellt man
VZylinder(R,H) =p*R²*H auf.
Zweckmäßigerweise substituiert man hier R² und nicht H, um sich unnötigen Rechenaufwand zu sparen.
R² = 20² - H² = 400 - H²
und eingesetzt ist das:
VZylinder(H)=p*(400-H²)*H
VZylinder(H)=p*(400H-H³)
Ableitungen:
V'Zylinder(H)=p*(400-3H²) und
V''Zylinder(H)=p*(-6H)
Setzt man V'Zylinder(H)= 0, so muss dieser H-Wert in V''Zylinder(H) einen negativen Wert erzeugen.
Man erhält dann die Höhe H des Zylinders
von 11,54 cm und durch Einsetzen in die Nebenbedingung den Radius R von 16,32 cm.
Viele Grüße
Oliver |
HPcalc
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. März, 2000 - 18:13: |
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hi oliver,
gute idee. hätt ich eigentlich selber sehen müssen aber im eifer des gefechts hab ich einfach den erstbesten genommen. deine variante ist sicher einfacher.
habs halt gern kompliziert
ciao hpcalc |
Sternenfuchs
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. März, 2000 - 18:15: |
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jojo HPcalc du hosts gern kompliziert?? oda vieleicht nit doch dei toschnr....?? ;) |
denise (Niese)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Juni, 2001 - 08:41: |
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Einer Kugel vom Radius R ist eine gerade quadratische Pyramide von größtem Volumen einzuschreiben.
BITTE UM HILFE!!danke im vorraus |
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