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Macimales Volumen eines Zylinders in ...

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Daniel Widmer (Danielwidmer)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Januar, 2002 - 20:38:   Beitrag drucken

Gleichung der Kurve y= 4x/(x^2+1)
Der im ersten Quadranten liegende Teil der Kurve werde von einer Parallelen zur x-Achse mit der Gleichung y=c geschnitten (2 neue Schnittpunkte A und B). Die Parrallelen zur y-Achse durch A und B schneiden die x-Achse in P bzw Q. Das Rechteck APQB rotiert um die x-Achse: dabei entsteht ein Zylinder.

Berechne c so, dass dieses Volumen (des Zylinders) maximal wird.

auch Hilfe eines Rechners wäre möglich (wir verwenden den Texas Instruments TI 83)
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OliverKnieps (Oliverk)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Januar, 2002 - 21:30:   Beitrag drucken

Hallo Daniel,

da hast du dir eine schöne Aufgabe ausgesucht. Wir wollen gleich zur Lösung (vorbehaltlich Rechenfehler) schreiten:

Zunächst schneidet y = c (mit c > 0) den Graphen von f(x) an den Stellen (einfaches Nachrechnen genügt hier):

x1 = (Wurzel (4/c² - 1) + 2/c und
x2 = (-Wurzel (4/c² -1) + 2/c

Nun brauchen wir eine Formel, die das Volumen des Zylinders bei Rotation um die x-Achse in Abhängigkeit von c beschreibt. Ich bediene mich hier eines interessanten und gleichermaßen praktischen Satzes aus der antiken euklidischen Geometrie, der Pappos von Alexandria (389-315 v. Chr) zugeschrieben wird. Er lautet:

"Rotiert ein Körper um seine eigene Achse, dann ist das Volumen gleich dem Produkt aus seiner Grundfläche und dem Weg, den der Schwerpunkt (Mittelpunkt) seiner Grundfläche bei der Rotation zurücklegt."

Den Schwerpunkt oder besser in diesem Fall (aufgrund der homogenen Dichte der Scheibe) den Mittelpunkt eines Rechtecks zu bestimmen, ist nicht schwer: Es ist die Hälfte einer Seitenlänge. Das heißt hier also ys = 0,5 c. (Mach dir am besten eine Skizze!)

Unsere Formel lautet nach Pappos nun:

V(c) = 2p*0,5 c * A.

2p*0,5c ist also der Umfang des Kreises, den der geometrische Mittelpunkt der Fläche bei der Rotation zurücklegt. A sei die Fläche des Rechtecks mit A = (x1-x2)*c

Damit erhalten wir

A= 2Wurzel(4/c² - 1). Insgesamt lautet nun V(c):

V(c) = 2p*c²*Wurzel(4/c² - 1)

oder schöner

V(c) = 2p * c * Wurzel(4 - c²)

Ableiten ergibt:

V'(c) = 2p[ (4-2c²)/(Wurzel(4 - c²))]

Setzen von V'(c) = 0 und auflösen nach c zeigt:

c = Wurzel(2), (wegen C > 0 ist -Wurzel(2) nicht zugelassen)

Einsetzen in V''(c) liefert die hinreichende Bedingung für ein Maximum, das war zu zeigen!

Soweit alles klar? Ich hoffe, du kannst was damit anfangen. Bei Fragen melde dich einfach wieder, ok?

Bis dahin

Oliver

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