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Nicole H.
| Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Januar, 2002 - 13:26: |
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Hallo, Mit der folgenden Extremalaufgabe komme ich nicht zurecht. Sie lautet: Die Punkte A( 0 / 0 ),B( 1 / 0 ) sind fest, der Punkt P( x / 1 ) , x > 0, läuft auf der Parallelen y = 1 zur x-Achse. Für welchen Wert von x ist das Verhältnis v = PA : PB maximal Berechne auch v max. Man löse die Aufgabe a) mittels Differentialrechnung b) ohne Differentialrechnung Für jede Hilfe bin ich sehr dankbar ! MfG Nicole H. |
H.R.Moser,megamath
| Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Januar, 2002 - 16:30: |
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Hi Nicole H., a) Wir stellen das Abstandsverhältnis v als Funktion von x dar und bekommen sofort: v = v(x) = wurzel (x ^ 2 + 1) / wurzel ((x -1) ^ 2 + 1) Wir untersuchen das Quadrat Q von v, um die Quadratwurzeln zu umgehen. Q = Q(x) = v ^ 2 = ( x ^2 + 1) / (x ^2 – 2 x + 2 ) Mit der Quotientenregel ermitteln wir die erste Ableitung ;diese lautet in vereinfachter Form Q` (x) = [ - 2 x ^ 2 + 2 x +2 ] / (x ^ 2 – 2 x + 2 ) ^ 2. Diese Ableitung ist null, wenn der Inhalt der eckigen Klammer null ist, also für x= xo= ½ * ( wurzel (5) + 1 ) = T ; °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Die zweite Lösung der quadratischen Gleichung ist negativ und kommt daher nicht in Frage. Bemerkungen (1) Das Resultat ist bemerkenswert ! T ist von der Teilung einer Strecke nach dem goldenen Schnitt her wohlbekannt. numerischer Wert: T = 1,618.... (2) Randwerte. v(0) = 1/wurzel(2) = 0,707 lim v(x) (x strebt gegen unendlich) = 1 (3) Bei x = T liegt offensichtlich ein Maximum vor Berechnung dieses Maximums M Wir setzen noch t = ½ *( wurzel(5) –1 ) Es gilt : T* t = 1 ; T ^ 2 = T + 1 ; t ^ 2 = 1 - t Daher M = v(xo) = x(T) = wurzel(( T ^2 + 1) / (T –1)^2 +1 )) = wurzel ( ( T^2 + T^2 * t^2) / ( t ^ 2 + 1) ) = wurzel ( T ^ 2 ) = T M = T , ein schönes Ergebnis ! b) Es ist tatsächlich möglich, die Stelle xo ohne Differentialrechnung zu ermitteln und zwar mit der wenig bekannten Methode der berührenden Niveaulinien. Das geht so: Wir geben ein Abstandsverhältnis v vor und berechnen die Gleichung der Ortskurve für die Bedingung PA : PB = v. Als Ortskurve entsteht eine Schar von Apolloniuskreisen mit den Fixpunkten A,B und dem Parameter v. Hat P die Koordinaten x und y , so lautet die Gleichung eines solchen Apolloniuskreises mit v als Verhältniszahl: x ^ 2 + y ^ 2 = v ^2 * [ (x -1) ^ 2 + y ^ 2 ] oder x ^2 + y ^ 2 - ( 2 v ^2 ) *x / ( v ^2 – 1 ) + v ^ 2 / ( v ^2 – 1 ) = 0 Mit der Methode der quadratischen Ergänzung bestimmen wir den Mittelpunkt und den Radius R des Kreises. Kreisgleichung in der neuen Form: [ x - v ^ 2 / ( v ^2 – 1 ) ] ^ 2 + y ^ 2 = v ^ 2 / ( v ^2 – 1 ) ^ 2 Wir benötigen bloss den Radius R ; wir entnehmen dafür R = v / ( v ^ 2 – 1 ) . Um nun das anstehende Extremalproblem zu lösen, suchen wir aus der Kreisschar, d.h. aus den Niveaulinien diejenige Kurve heraus, welche die Parallele zur x-Achse mit der Gleichung y = 1 berührt. Diese Bedingung ist erfüllt, wenn wir R = 1 postulieren; wir erhalten somit die Gleichung v = v ^ 2 –1 oder v ^ 2 – v - 1 = 0 mit der positiven Lösung v = v max = T wie oben ; damit hat uns diese faszinierende Methode zum Erfolg geführt Bravo ! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath. |
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