Themenbereiche Themenbereiche Profile Hilfe/Anleitungen Help    
Recent Posts Last 1|3|7 Days Suche Suche Tree Tree View  

Extremalaufgabe mit Abstandsverhältni...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klasse 11 » Differentialrechnung » Extremwertaufgaben » Sonstiges » Extremalaufgabe mit Abstandsverhältnis « Zurück Vor »

Autor Beitrag
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Nicole H.
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Januar, 2002 - 13:26:   Beitrag drucken

Hallo,

Mit der folgenden Extremalaufgabe komme ich nicht zurecht.
Sie lautet:
Die Punkte A( 0 / 0 ),B( 1 / 0 ) sind fest,
der Punkt P( x / 1 ) , x > 0, läuft auf der Parallelen y = 1 zur x-Achse.
Für welchen Wert von x ist das Verhältnis v = PA : PB maximal
Berechne auch v max.
Man löse die Aufgabe
a) mittels Differentialrechnung b) ohne Differentialrechnung

Für jede Hilfe bin ich sehr dankbar !

MfG
Nicole H.
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

H.R.Moser,megamath
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Januar, 2002 - 16:30:   Beitrag drucken

Hi Nicole H.,

a)
Wir stellen das Abstandsverhältnis v als Funktion von x dar
und bekommen sofort:
v = v(x) = wurzel (x ^ 2 + 1) / wurzel ((x -1) ^ 2 + 1)
Wir untersuchen das Quadrat Q von v, um die Quadratwurzeln
zu umgehen.
Q = Q(x) = v ^ 2 = ( x ^2 + 1) / (x ^2 – 2 x + 2 )
Mit der Quotientenregel ermitteln wir die erste Ableitung ;diese
lautet in vereinfachter Form
Q` (x) = [ - 2 x ^ 2 + 2 x +2 ] / (x ^ 2 – 2 x + 2 ) ^ 2.
Diese Ableitung ist null, wenn der Inhalt der eckigen Klammer null ist,
also für
x= xo= ½ * ( wurzel (5) + 1 ) = T ;
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Die zweite Lösung der quadratischen Gleichung ist negativ und
kommt daher nicht in Frage.

Bemerkungen
(1)
Das Resultat ist bemerkenswert !
T ist von der Teilung einer Strecke nach dem goldenen Schnitt her
wohlbekannt.
numerischer Wert: T = 1,618....

(2)
Randwerte.
v(0) = 1/wurzel(2) = 0,707
lim v(x) (x strebt gegen unendlich) = 1

(3)
Bei x = T liegt offensichtlich ein Maximum vor
Berechnung dieses Maximums M
Wir setzen noch t = ½ *( wurzel(5) –1 )
Es gilt : T* t = 1 ; T ^ 2 = T + 1 ; t ^ 2 = 1 - t
Daher M = v(xo) = x(T) = wurzel(( T ^2 + 1) / (T –1)^2 +1 )) =
wurzel ( ( T^2 + T^2 * t^2) / ( t ^ 2 + 1) ) = wurzel ( T ^ 2 ) = T
M = T , ein schönes Ergebnis !

b)
Es ist tatsächlich möglich, die Stelle xo ohne Differentialrechnung zu ermitteln
und zwar mit der wenig bekannten Methode der berührenden Niveaulinien.
Das geht so:

Wir geben ein Abstandsverhältnis v vor und berechnen die Gleichung der Ortskurve
für die Bedingung PA : PB = v.
Als Ortskurve entsteht eine Schar von Apolloniuskreisen mit den Fixpunkten A,B
und dem Parameter v.
Hat P die Koordinaten x und y , so lautet die Gleichung eines solchen
Apolloniuskreises mit v als Verhältniszahl:
x ^ 2 + y ^ 2 = v ^2 * [ (x -1) ^ 2 + y ^ 2 ] oder
x ^2 + y ^ 2 - ( 2 v ^2 ) *x / ( v ^2 – 1 ) + v ^ 2 / ( v ^2 – 1 ) = 0
Mit der Methode der quadratischen Ergänzung bestimmen wir den Mittelpunkt
und den Radius R des Kreises.
Kreisgleichung in der neuen Form:
[ x - v ^ 2 / ( v ^2 – 1 ) ] ^ 2 + y ^ 2 = v ^ 2 / ( v ^2 – 1 ) ^ 2
Wir benötigen bloss den Radius R ; wir entnehmen dafür
R = v / ( v ^ 2 – 1 ) .
Um nun das anstehende Extremalproblem zu lösen, suchen wir aus der Kreisschar,
d.h. aus den Niveaulinien diejenige Kurve heraus, welche die Parallele zur
x-Achse mit der Gleichung y = 1 berührt.
Diese Bedingung ist erfüllt, wenn wir R = 1 postulieren;
wir erhalten somit die Gleichung
v = v ^ 2 –1 oder v ^ 2 – v - 1 = 0
mit der positiven Lösung v = v max = T wie oben ;
damit hat uns diese faszinierende Methode zum Erfolg geführt

Bravo !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.

Beitrag verfassen
Das Senden ist in diesem Themengebiet nicht unterstützt. Kontaktieren Sie den Diskussions-Moderator für weitere Informationen.

ad

Administration Administration Abmelden Abmelden   Previous Page Previous Page Next Page Next Page