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Darkchatter
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. Januar, 2002 - 13:45: | 
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Gegeben ist die Funktionaschar
Ft(x) = (x² + t -1) // (x + 1), t>0
a)Gesucht ist die Definitionsmenge, Nullstellen, Polstelle, Asymptote, Extrem,-Wendepunkte
b) Bestimmen Sie die Ortskurve der Tiefpunkte
c)Zeigen Sie, das alle Scharkurven punktsymmetrisch zu P(-1 ; -2) sind.
Hoff ihr könnt mir da mal helfen!!
cya |
K.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. Januar, 2002 - 17:43: |
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Hallo Darkchatter
a) Definitionsmenge
D=R{-1}, da für x=-1 der Nenner Null wird.
Nullstellen: f(x)=0
<=> (x²+t-1)/(x+1)=0
<=> x²+t-1=0
<=> x²=1-t
=> x1=Ö(1-t) und x2=-Ö(1-t) sind Nullstellen falls t<=1
Für t>1 besitzt die Funktion keine Nullstellen.
Polstelle:
Zähler(-1)=1+t-1=t=0 <=> t=0
=> Funktion hat an der Stelle x=t mit t<>0 eine Polstelle.
Asymptote:
f(x)=(x²+t-1)/(x+1)=x-1+t/x+1
=> y=x-1 ist Asymptote
Ableitungen:
f(x)=(x²+t-1)/(x+1)
f'(x)=[2x(x+1)-(x²+t-1)]/(x+1)²
=(2x²+2x-x²-t+1)/(x+1)²
=(x²+2x-t+1)/(x+1)²
f"(x)=[(2x+2)(x+1)²-(x²+2x-t+1)*2(x+1)]/(x+1)4
=[(2x+2)(x+1)-(x²+2x-t+1)*2]/(x+1)³
=[2x²+2x+2x+2-2x²-4x+2t-2]/(x+1)³
=2t/(x+1)³
f"'(x)=[-2t*3*(x+1)²]/(x+1)6
=-6t/(x+1)4
Extrema: f'(x)=0
<=> (x²+2x-t+1)/(x+1)²=0
<=> x²+2x-t+1=0
=> x1,2=-1±Ö(1+t-1)
=-1±Öt
=> x1=-1+Öt bzw. x2=-1-Öt sind mögliche Extrema
Wegen f"(-1+Öt)
=2t/(-1+Öt+1)³
=2t/(tÖt)=2/Öt>0 hat die Funktion
für x1 ein Minimum
Wegen f"(-1-Öt)
=2t/(-1-Öt+1)³
=2t/(-Öt)³=-2/Öt<0 => Max.
Wendestellen: f"(x)=0
<=> 2t/(x+1)³=0
=> es gibt kein x mit f"(x)=0
=> keine Wendepunkte.
b) Die Tiefpunkte haben die Koordinaten
T(-1+Öt|-2+2Öt)
=T(-1+Öt|2(-1+Öt))
=> y=f(x)=2x ist die Ortskurve der Tiefpunkte.
c) Beh.: f(x)=(x²+t-1)/(x+1) ist punktsymmetrisch zu P(-1|-2)<=> [((x-1)²+t-1)/((x-1)+1)]+2 punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
Es gilt:
[((x-1)²+t-1)/((x-1)+1)]+2
=[(x²-2x+1+t-1)/x]+2
=(x²-2x+t+2x)/x
=(x²+t)/x=g(x)
=> g(-x)=-(x²+t)/x und -g(-x)=(x²+t)/x=g(x)
Damit ist g punktsymmetrisch zum Ursprung und damit f punktsymmetrisch zum Punkt P.
Mfg K. |
Hoppey (Hoppey)
Neues Mitglied
Benutzername: Hoppey
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 03-2007
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. März, 2007 - 09:04: |
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Hilfe ich schreibe Montag Klausur und habe keine ahnung...
die themen sind.
gebrochenrationale Funktionen
ganzrationale funktionen
logarithmus funktionen
e-funktionen
kann mir jemand helfen, wie ich die kurvendiskussionen machen kann. |
Tux87 (Tux87)
Senior Mitglied
Benutzername: Tux87
Nummer des Beitrags: 659
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. März, 2007 - 17:16: |
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Hi Hoppey,
was von einer Kurvendiskussion kannste denn nicht?
Alle Angaben sind wie immer ohne Gewähr - doch wer nicht wagt, der nicht gewinnt...
mfG
Tux
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