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Thomas Fay (Icevampir)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Januar, 2002 - 15:06: | 
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Ihr seid meine letzte Hoffnung..Ansonsten hab ich nicht mehr lange zu leben(lernen)!!Ich sitze schon den ganzen Vormittag an der verfluchten Aufgabe..Also:Ein zu y-Achse paralleler Strahl wird von der Parabel y=1/4x^2-2x+9 im Punkt P(3\?) reflektiert!Auf welcher Geraden liegt der reflektierte Strahl???Wäre auch super wenn jemand das gleiche für die Parabel y^2=1/4x erklären könnte!!! |
Justin
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Januar, 2002 - 17:40: |
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Hallo Thomas,
das ist ja echt eine "nette" Aufgabe.
Ich versuche mich mal dran.
Der Strahl, der parallel zur Y-Achse verläuft, wird also in einem Punkt (3;?) reflektiert.
Gut, die y-Koordinate für diesen Punkt lässt sich ja ohne weiteres berechnen.
Einfach x=3 in die Gleichung für die Parabel einsetzen.
Man erhält 5,25. Also hat der Reflexionspunkt die Koordinaten (3;5,25)
Die Parallele zur Y-Achse hat die Gleichung x=3
Nun gilt es herauszufinden, in welchen Winkel die Parabel im Reflexionspunkt hat und wie der Strahl reflektiert wird.
Dazu muss der Anstieg der Parabel am Punkt (3;5,25) bestimmt werden.
y = 1/4*x² - 2x + 9
y' = 1/2*x - 2
Man setzt für x=3 ein und erhält:
y' = 1/2*3 - 2 = -0,5
Aha, die Parabel hat an der Stelle ein negatives Wachstum. Also wird die Gerade nach links reflektiert.
Der Winkel, den die Parabel an dieser Stelle mit einer Parallelen zur X-Achse einschließt, ergibt sich aus dem Arccus Tangens des Anstiegs.
alpha = arc tan (y') = arc tan (-0,5) = -26,6°
Die Gerade x=3 hat zur X-Achse einen Winkel von 90°
Die Reflexionsebene ist die Normale (Senkrechte) zur Parabel im Punkt (3;5,25)
Diese Normale hat den Anstieg -1/y' = -1/(-0,5) = 2
Daraus ergibt sich ein Winkel betha für die Reflexionsebene von
arc tan (2) = 63,4°.
Für Reflexionen gilt ja nun: Einfallswinkel = Ausfallswinkel.
Ein einfallender Strahl mit einer Neigung von 63,4° auf den genannten Punkt würde in sich selbst reflektiert.
Bei einem Einfallswinkel von 63° betrüge der Ausfallswinkel dann 63,8° usw.
Da der Strahl nun mit 90° Neigung einfällt, besteht eine Differenz von 26,6°.
Das ist nun der Einfallswinkel.
Der Ausfallswinkel ist genauso groß.
Also beträgt der Reflexionswinkel 2*26,6° = 53,2°.
Der einfallende Strahl wird also um 53,2° versetzt reflektiert und hat dann einen Winkel von (90-53,2°) = 36,8°.
Für 36,8° ergibt sich folgende Steigung:
tan (36,8°) = 0,748
Das heißt, die Reflexionsgerade hat den Anstieg m = 0,748.
Nun lautet eine Geradebgleichung allgemein: f(x) = m*x + n
m ist nun bekannt => f(x) = 0,748*x + n
Jetzt fehlt also noch n.
Dieses erhält man, indem man den Reflexionspunkt, der ja auch Teil der Geraden ist, in die Geradengleichung einsetzt.
5,25 = 0,748*3 + n
n = 3
Also entspricht die Reflexionsgerade der Gleichung:
f(x) = 0,748*x + 3
So, ich denke mal, dass das Ergebnis stimmt.
Wer anderer Meinung ist, mag bitte korrigieren.
Viel Erfolg Thomas :-)
Justin |
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