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Beitrag |
    
Stefan Friedemann (Blizzard)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Januar, 2002 - 16:33: | 
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Hallo!
Ich habe mich freiwillig mit Mathe beschäftigt ( in den Ferien) *g*
Wäre echt nett, wenn mir wer folgende Aufgabe erklärt.
Bei einem Kleinflugzeug lässt sich die benötigte Leistung P (in PS) in ABhängigkeit von der Gechwindigkeit (v in km/h) näherungsweise durch
P(v)= 1/160 v² - 3/2 v +120
; v>=60
beschreiben.
a) Welche Geschwindigkeiten können mit 32,5 PS geflogen werden?
b) Bei welcher geschwindigkeit ist die benötigte Leistung am kleinsten? Warum ist in diesem Fall die Flugdauer am größsten?
Vielen Dank!
Stefan |
Justin
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Januar, 2002 - 10:34: |
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Hallo Stefan,
Du hast es hier mit einer quadratischen Gleichung zu tun.
Und für solche Gleichungen gibt es eine spezielle Berechungsformel.
x = -p/2 +/- WURZEL((p/2)^2 - q)
Quadratische Gleichungen haben prinzipiell erstmal immer zwei Lösungen, nur kann es vorkommen, dass die zweite Lösung keinen Sinn macht, etwa wenn sie einen negativen Wert liefert wo nur positive sinnvoll wären. Es kann aber auch vorkommen, dass gar keine reelle(!) Lösung herauskommt, weil der Term in der Wurzel negativ wird.
Damit Du diese Formel benutzen kannst, muss die Gleichung in dieser Form vorliegen:
x^2 + px - q = 0
Aufgabe a)
P(v)= 1/160 v² - 3/2 v +120
Da 32,5 PS geleistet werden, setzt man ein:
32,5 = 1/160v^2 - 3/2v + 120
Das stellt man nun um:
0 = 1/160v^2 - 3/2v + 87,5
0 = v^2 - 240v + 14000
Und jetzt liegt die Gleichung in der oben erwähnten Form vor und es kann nach der Lösung gesucht werden:
x = -p/2 +/- WURZEL((p/2)^2 - q)
x = -(-240)/2 +/- WURZEL((240/2)^2 - 14000)
x1 = 120 + WURZEL(14400 - 14000) = 120 + 20 = 140
x2 = 120 - WURZEL(14400 - 14000) = 120 - 20 = 100
Du siehst also, man erhält zwei Lösungen. Und beide sind sinnvoll, denn sie sind nicht negativ und grösser als 60.
Test:
32,5 = 1/160*140^2 - 3/2*140 + 120
32,5 = 122,5 - 210 +120
32,5 = 32,5
32,5 = 1/160*100^2 - 3/2*100 + 120
32,5 = 62,5 - 150 + 120
32,5 = 32,5
Stimmt also beides.
Also liegt bei Geschwindigkeiten von 100 und 140 km/h eine Leistung von 32,5 PS vor.
Aufgabe b)
b) Bei welcher geschwindigkeit ist die benötigte Leistung am kleinsten? Warum ist in diesem Fall die Flugdauer am größsten?
Hier hat man es mit einer Extremwertaufgabe zu tun.
Man leitet die Funktion einmal ab, sucht die Nullstelle der ersten Ableitung und prüft mit Hilfe der zweiten Ableitung an der Stelle, ob es sich um ein Minimum handelt.
P(v)= 1/160 v² - 3/2 v +120
P'(v) = 1/80v - 3/2
0 = 1/80v - 1,5
v = 1,5 * 80
v = 120
P''(v) = 1/80
=> Es liegt also bei v=120 km/h ein Extremwert vor. Da die zweite Ableitung an dieser Stelle positiv ist, handelt es sich um ein lokales Minimum.
P(120) = 1/160 * 120*120 - 3/2 * 120 +120
P(120) = 90 - 180 + 120
P(120) = 30
Bei 120 km/h wird also nur eine Leistung von 30 PS benötigt.
Leistung hat ja immer etwas mit aufgebrachter Energie zu tun.
Und wenn der Motor eine geringere Leistung liefern muss, verbraucht er weniger Treibstoff. Also kann das Flugzeug dann auch länger in der Luft bleiben.
Alles klar?
Schönen Tag noch
Justin |
Stefan Friedemann (Blizzard)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Januar, 2002 - 14:53: |
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Danke, du hast mir sehr geholfen!
Ich habs auch alles verstanden.
Vielen Dank!
:-)
Stefan |
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