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conny
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Januar, 2002 - 15:31: | 
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Hi
Hallo ich hab meiner meinung nach ne total schwere HA auf mit der ich echt nix anfangen kann. Könntet ihr mir bitte dabei helfen??? Das wäre echt supi. Ok ich fang da mal an.
Meine aufgabe ist es funktionsgleichungen zu ermitteln.
A, vom graphen einer ganzrationalen funktion dritten grades sind folgende punkte gegeben: P1(0;1) P2(1;0) P3(-1;-4) P4(2;-1)
B, vom graphen einer ganzrationalen funktion dritten grades kennt man den lokalen maximumpunkt H(1;5) und den lokalen minimumpunkt T(3;2)
C, der graph einer ganzrationalen funktion dritten grades hat im koordinatenursprung einen wendepunkt. Der anstieg der wendetangente ist m=-0,9. gegeben ist ausserdem der punkt P(3;0) dieser funktion.
D, der graph einer ganzrationalen funktion dritten grades geht durch P(0;1) und hat in W(1;-1) einen wendepunkt; der anstieg der wendetangente ist m=2.
So diese aufgaben muss ich lösen und hab keinen blassen schimmer wie ich es am besten anstellen soll.bitte helft mir.(bitte so erklären das ich was verstehe ich bin langsam im kapieren, danke)
Danke tschüss |
Justin
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Januar, 2002 - 17:10: |
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Hallo conny,
das ganze ist nicht mal halb so schlimm, wie es aussieht; vorausgesetzt, man weiss, wie man herangehen muss :-)
Erstmal Aufgabe A
Wie sieht denn eine ganzrationale Funktion dritten Grades aus?
Ich würde mal sagen so hier: f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
Gesucht sind ja hier nun die Werte für a, b, c und d.
Du hast vier Punkte gegeben. Man setze diese Punkte nun einfach mal in diese schematische Gleichung ein. Also x-Koordinate für x und y-Koordinate für f(x).
(P1) a*0^3 + b*0^2 + c*0 + d = 1
(P2) a*1^3 + b*1^2 + c*1 + d = 0
(P3) a*(-1)^3 + b*(-1)^2 + c*(-1) + d = -4
(P4) a*2^3 + b*2^2 + c*2 + d = -1
Und das alles sieht doch sehr verdächtig aus, nämlich nach linearem Gleichungssystem. Das ist es auch. Man löst es nun einfach auf.
Aus der Gleichung für den Punkt P1 ergibt sich schon mal dass d=1 ist, denn alle anderen Glieder der Funktion sind gleich NULL. Also kann man nun in den anderen Gleichungen das d durch eine 1 ersetzen. Und diesen festen Wert kann man nun auf die rechte Seite der Gleichung ziehen, damit bleiben nur noch drei Variablen und drei Gleichungen übrig.
Ich lasse jetzt mal die Variablenbezeichnungen weg, wie vom Gaussschen Algorithmus bekannt sein sollte.
Ich gehe mal davon aus, dass Du weisst, wie der Gausssche Algorithmus funktioniert und schreibe daher nur die Umformungsstufen ohne Erklärung hin.
(P1) 0 0 0 d = 1
(P2) 1 1 1 1 = 0
(P3) -1 1 -1 1 = -4
(P4) 8 4 2 1 = -1
(P2) 1 1 1 = -1
(P3) -1 1 -1 = -5
(P4) 8 4 2 = -2
(P2) 1 1 1 = -1
(P3) 0 2 0 = -6
(P4) 0 -4 -6 = 6
(P2) 1 1 1 = -1
(P3) 0 2 0 = -6
(P4) 0 0 -6 = -6
=> c = -6/-6 = 1
=> b = -6/2 = -3
=> a = -1 -c -b = -1 -1 +3 = 1
Also müsste die Funktion so aussehen:
f(x) = x^3 - 3x^2 + x + 1
Test:
f(0) = 0 + 0 + 0 + 1 = 1 => P1(0;1) stimmt also
f(1) = 1 - 3 + 1 + 1 = 0 => P2(1;0) stimmt auch
f(-1) = -1 - 3 - 1 + 1 = -4 => P3(-1;-4) stimmt ebenfalls
f(2) = 8 - 12 + 2 + 1 = -1 => P4(2;-1) stimmt!
Bis später
Justin |
Justin
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Januar, 2002 - 21:14: |
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B)
Man benötigt auch hier wieder vier Informationspunkte, um die Funktion eindeutig zu bestimmen. Und die sind ja auch gegeben, und zwar in Form der Funktionsgleichung und der 1.Ableitung.
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
H => a*1^3 + b*1^2 + c*1 + d = 5
T => a*3^3 + b*3^2 + c*3 + d = 2
f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c
H und T sind Extremwerte, die Funktionswerte der 1.Ableitung sind gleich NULL!
H => 3a*1^2 + 2b*1^2 + c = 0
T => 3a*3^2 + 2b*3 + c = 0
Und wieder stellt man ein Gleichungssystem auf. Das wird jetzt vielleicht etwas unübersichtlich werden aufgrund der eingeschränkten Darstellungsweise.
1 1 1 1 5
27 9 3 1 2
3 2 1 0 0
27 6 1 0 0
27 6 1 0 0
27 9 3 1 2
3 2 1 0 0
1 1 1 1 5
27 6 1 0 0
0 3 2 1 2
0 12 8 0 0
0 21 26 27 135
27 6 1 0 0
0 3 2 1 2
0 0 0 -4 -8
0 0 12 20 121
d = -8/-4 = 2
12c + 20*2 = 121
c = (121-40)/12 = 6,75
3b + 2*6,75 1*2 = 2
b = (2-2-13,5)/3 = -4,5
27a + 6*(-4,5) + 1*6,75 + 0*2 = 0
a = (0-0 -6,75 + 27)/27 = 0,75
Also heisst die Funktion
f(x) = 0,75x^3 - 4,5x^2 + 6,75x + 2
Die Ableitung ist f'(x) = 2,25x^2 - 9x + 6,75
Und nun noch der Test:
f(x) = 0,75x^3 - 4,5x^2 + 6,75x + 2
f(1) = 0,75 - 4,5 + 6,75 + 2 = 5 => H(1;5)
f(3) = 20,25 - 40,5 + 20,25 + 2 = 2 => T(3;2)
f'(x) = 2,25x^2 - 9x + 6,75
f'(1) = 2,25 - 9 + 6,75 = 0 => Extremwert
f'(3) = 20,25 - 27 + 6,75 = 0 => Exremwert.
Also auch diese Aufgabe gelöst.
Schönen Abend noch
Justin |
Justin
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Januar, 2002 - 13:00: |
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Aufgabe C)
Auch hier sind wieder vier Informationen gegeben, die man eben nur richtig herausfiltern muss.
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b
"hat im koordinatenursprung..." => f(0) = 0
"...einen wendepunkt" => f''(x) = 0
"Der anstieg der wendetangente ist m=-0,9" => f'(0) = -0,9
"punkt P(3;0) dieser funktion" => f(3) = 0
Man stellt nun wieder ein Gleichungssystem auf.
a*0^3 + b*0^2 + c*0 + d = 0
6a*0 + 2b = 0
3a*0^2 + 2b*0 + c = -0,9
a*3^3 + b*3^2 + c*3 + d = 0
Ich erspare mir jetzt mal den restlichen Rechenweg.
Am Ende kommt dann heraus
d = 0
c= -0,9
b = 0
a = 0,1
f(x) = 0,1x^3 - 0,9x
Aufgabe D)
Und wieder kommt es erstmal darauf an, die Gegebenheiten richtig zu übersetzen:
P(0;1) => f(0) = 1
"hat in W(1;-1)..." => f(1) = -1
"...einen wendepunkt" => f''(1) = 0
"anstieg der wendetangente ist m=2" => f'(1) = 2
Es gilt wieder:
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b
Und nun wieder das Gleichungssystem:
a*0^3 + b*0^2 + c*0 + d = 1
a*1^3 + b*1^2 + c*1 + d = -1
6a*1 + 2b = 0
3a*1^2 + 2b*1 + c = 2
Ergebnis ist hier dann:
d = 1
c = -10
b = 12
a = -4
Also:
f(x) = -4x^3 + 12x^2 - 10x + 1
Ich hoffe nur, du hast das ganze auch verstanden.
Sonst war das ganze hier eh für die Katz :-)
Ciao
Justin |
conny
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Januar, 2002 - 19:33: |
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ih wo war gar ni für die katz.ich dank dir ganz doll.ich versuch das jetzt ma auch mit deiner hilfe ob ich dasselbe rauskriege.wenn ich noch fragen hab meld ich mich nochma.
aber ich glaub so wie du das erklärt hast blick ich durch.vielen dank.
cu bis demnächst
(danke für deine bemühungen)
:o) |
conny
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Januar, 2002 - 19:23: |
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hi also ich hab das seit 3 tagen versuchen zu verstehen aber ich weiss gar nicht was das gausssche gesetz ist hab ich noch nie was davon gehört.und da weiss ich auch nicht wie das gehen soll.ich kann damit echt überhaupt nix anfangen. könntest du mir das bitte auch ohne diesem gesetz erklären wenn das geht.das wäre echt riesencool.
danke cu conny |
conny
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Januar, 2002 - 19:26: |
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hi also ich hab das seit 3 tagen versuchen zu verstehen aber ich weiss gar nicht was das gausssche gesetz ist hab ich noch nie was davon gehört.und da weiss ich auch nicht wie das gehen soll.ich kann damit echt überhaupt nix anfangen. könntest du mir das bitte auch ohne diesem gesetz erklären wenn das geht.das wäre echt riesencool.
danke cu conny |
Justin
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Januar, 2002 - 12:07: |
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Hallo conny,
der Gaußsche Algorithmus ist eigentlich die einfachste Methode, mit der man lineare Gleichungssysteme mit mehr als zwei Unbekannten auflösen kann.
Man muss nur ein wenig aufpassen, dass man sich mit den Vorzeichen nicht verheddert, aber dieses Problem taucht eigentlich überall in der Mathematik auf :-)
Der Grundgedanke ist, dass die drei Gleichungen so umgeformt werden, dass eine Stufenform entsteht, an deren unterstem Ende eine Gleichung mit nur noch einer Variablen steht.
Etwa so:
a1*x1 + a2*x2 + a3*x3 = b1
0*x1 + a5*x2 + a6*x3 = b2
0*x1 + 0*x2 + a9*x3 = b3
Man löst dann einfach die unterste Gleichung nach x3 auf.
Diesen x3-Wert setzt man dann in die zweite Gleichung ein und löst nach x2 auf.
Und das ganze mit beiden Werten nochmal in der ersten Gleichung und löst nach x1 auf.
Und dann hat man die Lösung.
Angenommen du hast folgendes Gleichungssystem
(1) 4*x1 + 5*x2 - 6*x3 = -4
(2) 6*x1 + 2*x2 + 1*x3 = 13
(3) 8*x1 - 1*x2 - 1*x3 = 3
Dann soll durch den Gaußschen Algorithmus versucht werden, die unterste Gleichung auf die Variable x3 zu beschränken, in der mittleren Gleichung bleiben x2 und x3, in der obersten alle Variablen erhalten.
Und das erreicht man,indem man von den unteren Gleichungen jeweils eine höher stehende Gleichung subtrahiert, und zwar so, dass dabei eine Variable sich zu NULL wegaddiert.
Erster Schritt: Man eliminiert x1 aus der zweiten Gleichung. Aus Gründen der Übersichtlichkeit lasse ich jetzt man die dritte Gleichung weg
(1) 4*x1 + 5*x2 - 6*x3 = -4
(2) 6*x1 + 2*x2 + 1*x3 = 13
Zieht man nun die obere Gleichung von der unteren ab, bleiben aber 2*x1 übrig.
Es müssen also beide Koeffizienten gleichgroß sein, damit bei der Subtraktion NULL entsteht. Also erweiter man beide Gleichungen aufs kgV.
(1) 4*x1 + 5*x2 - 6*x3 = -4 |*3
(2) 6*x1 + 2*x2 + 1*x3 = 13 |*2
(1) 12*x1 + 15*x2 - 18*x3 = -12
(2) 12*x1 + 4*x2 + 2*x3 = 26
So! Und jetzt sind beide Koeffizienten für x1 gleichgroß. Man subtrahiert die obere Gleichung von der unteren und erhält
(1) 12*x1 + 15*x2 - 18*x3 = -12
(2) 0*x1 - 11*x2 + 20*x3 = 38
Und damit ist x1 aus der mittleren Gleichung eliminiert worden!
Jetzt macht man das gleiche mit der untersten Gleichung.
Dabei spielt es keine Rolle, ob Du nun die erweiter Form der ersten Gleichung nimmst, oder die Ausgangsform. Die Ausgangsform ist in dem Fall die zweckmäßigere.
(1) 4*x1 + 5*x2 - 6*x3 = -4
(3) 8*x1 - 1*x2 - 1*x3 = 3
In diesem Fall nun muss nur die erste Gleichung erweitert werden, um identische Koeffizienten für x1 zu erhalten.
(1) 4*x1 + 5*x2 - 6*x3 = -4 |*2
(3) 8*x1 - 1*x2 - 1*x3 = 3
(1) 8*x1 + 10*x2 - 12*x3 = -8
(3) 8*x1 - 1*x2 - 1*x3 = 3
So, und jetzt wieder subtrahieren. Man erhält:
(1) 8*x1 + 10*x2 - 12*x3 = -8
(3) 0*x1 - 11*x2 + 11*x3 = 11
Man hat das Gleichungssystem nun also schon auf folgende Form gebracht:
(1) 4*x1 + 5*x2 - 6*x3 = -4
(2) 0*x1 - 11*x2 + 20*x3 = 38
(3) 0*x1 - 11*x2 + 11*x3 = 11
Als nächstes muss nun x2 aus der dritten Gleichung eliminiert werden.
(2) 0*x1 - 11*x2 + 20*x3 = 38
(3) 0*x1 - 11*x2 + 11*x3 = 11
Da hier nun beide x2-Koeffizienten den gleichen Wert haben, braucht nicht erweitert zu werden. Man subtrahiert einfach die obere Gleichung von der unteren und erhält
(2) 0*x1 - 11*x2 + 20*x3 = 38
(3) 0*x1 - 0*x2 - 9*x3 = -27
Und nun sieht das ganze Gleichungssystem so aus:
(1) 4*x1 + 5*x2 - 6*x3 = -4
(2) 0*x1 - 11*x2 + 20*x3 = 38
(3) 0*x1 - 0*x2 - 9*x3 = -27
Und das ist es auch, was ich am Anfang mit Stufenform meinte.
In der untersten Gleichung ist nur noch die Variable x3 übrig geblieben.
-9*x3 = -27
Macht nach Adam Riese: x3=3
Diesen Wert für x3 setzt man nun in die zweite Gleichung ein.
- 11*x2 + 20*x3 = 38
- 11*x2 + 20*3 = 38
Und man erhält für x2:
x2 = -22/(-11) = 2
Und nun setzt man die Werte x3 und x2 in die erste Gleichung ein:
4*x1 + 5*x2 - 6*x3 = -4
4*x1 + 5*2 - 6*3 = -4
x1 = 4/4 = 1
Also sieht die Lösung des Gleichungssystems so aus:
x1 = 1
x2 = 2
x3 = 3
Auf die Probe verzichte ich jetzt mal, Du kannst sie ja selber durchführen, indem Du die Lösungswerte in die Ausgangsgleichungen einsetzt.
Ich hoffe, ich konnte Dir dabei helfen, den Gaußschen Algorithmus zu verstehen.
Wenn Du es erstmal kapiert hast, ist das ganze auch sehr einfach.
Glaub's mir :-)
Schönen Tag noch
Justin |
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