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Beitrag |
    
Lisie (Lisie)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Dezember, 2001 - 18:00: | 
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Hallo ihr Lieben,
ich wünsch Euch frohe Weihnachten!
Grad hab ich ein paar Aufgaben gerechnet und gleich mal ein paar Fragen *g*
Wie berechnet man den Grenzwert von (2x-3)/(WURZEL(x^2+1)) für x gegen unendlich?
Ich hab versucht, Zähler und Nenner mit der Wurzel zu erweitern, aber gibts da nicht eine bessere Lösung?
Dann: Was ist der Grenzwert von (-1) hoch n für n gegen unendlich?
Und wie würde man den Grenzwert von (x^2-4)/(x+2) berechnen, wenns nicht eh klar wäre?
Danke! 
Eure Lisie |
Justin
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Dezember, 2001 - 22:40: |
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Hallo Lisie,
ich hoffe, Du hattest angenehme Weihnachten.
Die Idee mit der Erweiterung war zwar nicht ganz richtig, aber schon mal eine gute Idee.
f(x) = (2x-3)/(WURZEL(x²+1))
Quadriere doch den Ausdruck erstmal, dann ist keine Wurzel mehr da.
=> (2x-3)²/(x²+1)
Nun multiplizierst Du aus:
=> (4x² - 12x + 9) / (x² + 1)
klammerst x² aus und kürzt es weg
=> x²(4 - 12*(1/x) + 9*(1/x²) / x²(1 + 1/x²)
=> (4 - 12*(1/x) + 9*(1/x²) / (1 + 1/x²)
Lässt Du für diesen Ausdruck x=> PLUS unendlich gehen, erhältst Du als Grenzwert +4.
Für x=> MINUS unendlich erhältst Du als Grenzwert -4
Das ist aber noch nicht das richtige Ergebnis, denn am Anfang wurde ja die Funktion quadriert. Also musst Du nun aus den entsprechenden BETRÄGEN(!) die Wurzel ziehen und dann das Vorzeichen setzen.
Für x=>PLUS unendlich ergibt sich so der Grenzwert +2
Für x=>MINUS unendlich ergibt sich der Grenzwert -2.
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"Dann: Was ist der Grenzwert von (-1) hoch n für n gegen unendlich? "
Da bin ich jetzt etwas unsicher.
Fakt ist, dass die Funktion f(n) = (-1)^n nur für ganzzahlige n definiert ist.
Sie ist also in keinster Weise stetig.
An keiner Stelle a, an der die Funktion definiert ist, kann man sich aus
der Umgebung von a dem Funktionswert nähern, also auch keinen Grenzwert
bilden.
Da also für keine einzige Stelle a ein Grenzwert existiert, existiert
auch kein Grenzwert im unendlichen.
Das ist mein Vorschlag, auch wenn ich mir da jetzt nicht sooo sicher bin :-)
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"Und wie würde man den Grenzwert von (x²-4)/(x+2) berechnen, wenns nicht eh klar wäre?"
Wahrscheinlich meinst Du den Grenzwert für x=>unendlich.
Nun, du klammerst im Zähler und Nenner einfach den Faktor x aus, und kürzte diese dann weg, so wie es in der Aufgabe oben in Form von x² passiert ist.
Dann bleibt übrig: (x-4/x) / (1+2/x)
Für x gegen unendlich geht der Nenner dann gegen 1 und der Zähler gegen unendlich. Also wird der gesamte Ausdruck unendlich.
Zweite Möglichkeit: die Regel von l'Hospital.
Du leitest die Zähler- und die Nennerfunktionen getrennt voneinander ab:
Nach der ersten Ableitung bliebe dann: 2x/1 => 2x
Lässt man nun x gegen unendlich laufen, wird der Ausdruck unendlich.
Alles klar?
Bis dann
Justin |
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