| Autor |
Beitrag |
    
Janine
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Dezember, 2001 - 21:01: | 
|
Bitte helft mir bei der Lösung der Aufgabe!
f(x)=(x^3+x^2+4)/(2*x^2)
1.vollständige Kurvendiskussion
2.Untersuchen sie ob eine Parabel existiert, die die Funktion in folgenden Punkten berührt: P1(-2/0)und P2(2/2)
und weiterhin folgende Eigenschaften besitzt:
nach unten geöffnet; schneidet die y-Achse bei 1,5!
Danke |
Justin
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Dezember, 2001 - 05:13: |
|
Hallo Janine,
Hast Du das als Hausaufgabe über Weihnachten aufbekommen?
Es wird allerdings ziemlich viel.
Ich versuche mal mein bestes und hoffe, dass Du auch alles verstehen und nachvollziehen kannst.
Ansonsten bringt's ja unterm Strich nichts.
f(x)=(x³+x²+4)/(2x²)
Kurvendiskussion
Zählerfunktion => u(x) = x³+x²+4
Nennerfunktion => v(x) = 2x²
1.) Definitonsbereich
Die Funktion im Nenner, also v(x) darf nicht NULL werden. Und das ist genau dann der Fall, wenn x=0 ist, denn:
2*x² = 0 => x=0
=> Definitionsbereich D = R{0}
2.) Nullstellen
Eine Nullstelle liegt vor, wenn die Zählerfunktion gleich NULL und die Nennerfunktion ungleich Null ist. Also u(x)=0 und v(x)<>0
Man muss also nur u(x) auf Nullstellen abklopfen.
u(x) = x³+x²+4
Wer einen Blick für solche Aufgaben hat, findet eine Nullstelle sofort:
Das Quadrat von x und dazu vier addiert soll dem negativen Betrag von x³ entsprechen.
Da der Ausdruck (x²+4) positiv sein muss, kann x³ nur negativ sein.
x muss also ebenfalls negativ sein.
Und wenn das Quadrat von x um vier erhöht schließlich x³ ergibt, kann x nur recht klein sein. Irgendwas zwischen 0 und -2 grob geschätzt.
Und Tatsache: x = -2
Wer nun diesen Blick nicht hat, muss auf andere Lösungsmöglichkeiten zurückgreifen, etwa das Tangentenverfahren. Dazu bildet man die erste Ableitung von u(x), nimmt einen beliebigen Wert x0 und berechnet folgendes:
x1 = x0 - u(x)/u'(x)
Und der Wert x1 wird dann wieder als x0-Wert in die Gleichung eingesetzt. Es wird so lange gerechnet, bis sich x0 und x1 kaum mehr im Betrag unterscheiden.
u'(x) = 3x²+2x
x1 = x0 - (x³+x²+4)/(3x²+2x)
x1 = -1 - (-1+1+4)/(3*1-2*1) = -1 - (-4/1) = -5
x2 = -5 - (-5³+5²+4)/(3*(-5)²-2*5) = -5 - (-1,477) = -3,523
x3 ...
Nach sechs Rechenschritten kommt man dann auch hier auf einen Wert von x = -2
Gibt es noch mehr Nullstellen außer x = -2 ?
Dazu dividiert man u(x) durch (x+2)
(x³+x²+4) : (x+2) = x²-x+2
-(x³+2x²)
---------
-x²+4
-(-x²-2x)
---------
2x+4
-(2x+4)
-------
0
Man erhält also die Funktion x²-x+2. Diese sucht man nun auf die für quadratische Funktionen bekannte Art nach Nullstellen ab.
x1 = -p/2 + WURZEL(p²/4 - q) = 1/2 + WURZEL(1/4 - 2) = 1/2 + WURZEL(-1,75)
x2 = -p/2 - WURZEL(p²/4 - q) = 1/2 + WURZEL(1/4 - 2) = 1/2 - WURZEL(-1,75)
Da man aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen kann, gibt es also keine weiteren Nullstellen.
Ergebnis:
f(x)=(x³+x²+4)/(2x²) hat an der Stelle x=(-2) eine Nullstelle.
3.) Schnittpunkt mit der Y-Achse.
Gibt's keinen, denn die Funktion ist ja für x=0 nicht definiert.
4.) Grenzwertverhalten
Man testet die Funktion also für x => PLUS/MINUS unendlich UND natürlich für x => 0.
a) Verhalten für x gegen PLUS/MINUS unendlich
f(x)=(x³+x²+4)/(2x²) formt man um, indem man die Funktion sozusagen ausdividiert
(x³+x²+4)/(2x²) = x/2 + 1/2 + 2/x²
Und man sieht nun:
limes x/2 + 1/2 + 2/x² => unendlich
Aber: es gibt eine sogenannte "schräge Asymptote", also eine Gerade, der sich die Funktion immer weiter annähert, je weiter x gegen unendlich läuft.
Die Gleichung für die Geraden lautet g(x) = x/2 + 1/2.
Der Ausdruck 2/x² fällt weg, weil er ja für x=>unendlich gegen NULL geht.
b) Verhalten für x gegen NULL
f(x)=(x³+x²+4)/(2x²)
f(0) = (0+0+4)/(0) = 4/0
Die Funktion läuft also bei Annäherung an den Wert x=0 gegen unendlich. Man hat es hier also mit einer vertikalen Asymptote zu tun. Man sagt auch Polstelle dazu.
Außerdem gilt noch folgendes:
Bei x=0 fallen in der Nennerfunktion v(x)=2*x² beide Nullstellen zusammen!
Dabei hat man es bei x=0 mit einer Polstelle 2.Grades zu tun.
Das heißt: Die Funktion macht beim "Sprung" über die Polstelle KEINEN Vorzeichenwechsel.
Der Graph schießt also ins positiv unendliche wenn er sich der Stelle x=0 annähert und kommt aus dem positiv unendlichen wieder zurück, wenn x>0 wird.
Ergebnis:
f(x)=(x³+x²+4)/(2x²)
=> strebt für x=> PLUS/MINUS unendlich gegen die Asymptote g(x) = x/2 + 1/2
=> hat an der Stelle x=0 eine Polstelle zweiten Grades.
5.) Berechnung f'(x) und f''(x)
f(x)=(x³+x²+4)/(2x²)
f'(x) = (u'(x)*(v(x)) - v'(x)*u(x)) / v²(x)
= ((3x²+2x)*(2x²) - 4x*(x³+x²+4)) / (4x^4)
= (6x^4 + 4x³ - 4x^4 - 4x³ - 16x) / (4x^4)
= (2x^4 - 16x) / (4x^4)
f'(x) = (x^4 - 8x) / (2x^4)
f''(x) = ((4x³-8)*(2x^4) - 8x³*(x^4-8x)) / (4x^8)
= ((8x^7 - 16x^4 - 8x^7 + 64x^4) / (4x^8))
= 48x^4 / 4x^8
f''(x) = 12/x^4
6.) Berechnung der Extremwerte
Erste Ableitung gleich NULL setzen.
f'(x) = (x^4 - 8x) / (2x^4)
0 = (x^4 - 8x) / (2x^4)
Hier gilt nun wieder das gleiche wie beim Berechnen der Nullstelle(n) von f(x): die Funktion im Zähler muss NULL werden und die im Nenner <>0
0 = (x^4 - 8x)
0 = x*(x^3 - 8)
=> Extremwertstelle x=0 => zählt aber nicht, da f(x) an dieser Stelle nicht definiert ist.
0 = x^3 - 8
8 = x^3
x = 2
=> Extremwertstelle x=2
f(2) = (2³+2²+4)/(2*2²) = 16/8 = 2
f'(2) = (2^4 - 8*2) / (2*2^4) = 0/32 = 0
f''(2) = 12/2^4 = 12/16
=> Da die zweite Ableitung für x=2 einen positiven Wert aufzeigt, hat die Funktion bei x=2 ein lokales Minimum.
7.) Monotonieverhalten
Die Funktion f(x) ist für x < 0 streng monoton steigend, da in diesem Bereich keine Extremwerte vorliegen und die Funktion bei x=0 gegen PLUS unendlich läuft.
Für 0 < x < 2 ist die Funktion streng monoton fallend, da die Funktion aus dem positiv Unendlichen kommt und bei x=2 ein lokales Minimum erreicht.
Für x > 2 ist die Funktion streng monoton steigend, da nach dem lokalen Minimum die Steigung wieder positiv ist, keine weiteren Extremwerte vorhanden sind und die Funktion sich der Asymptote g(x) = x/2 +1/2 annähert.
8.) Wendestellen
f''(x) = 12/x^4
0 = 12/x^4
Diese Gleichung hat keine Lösung, da NULL nur erreicht werden kann, wenn x gegen unendlich läuft.
Es gibt also keine Wendestellen.
9.) Wertebereich
Der Wertebereich W der Funktion f(x) umfasst den gesamten Bereich der reelen Zahlen.
W = R
10.) Symmetrieeigenschaften
Der Graph von f(x) kann auf Grund der Polstelle zweiten Grades nur achsensymmetrisch sein. Das ist er aber nicht, da nur auf einer Seite des Graphen ein Extremwert zu finden ist und außerem eine Asymptote g(x) = x/2 + 1/2 keine Achsensymmetrie zulässt.
Nun zur Suche nach der Parabel
P1 = (-2/0)
P2 = (2/2)
Schnittpunkt der y-Achse bei 1,5 => P3 = (0/1,5)
nach unten geöffnet => h(x) = -ax² + bx + c
Fakt ist: die Punkte P1 und P2 liegen auf f(x), denn P1 entspricht der ermittelten Nullstelle, P2 dem lokale Minimum von f(x)
Um die Parabelgleichung aus den gegebenen Punkten zu erhalten, setzt man die x- und y-Werte einfach in die Parabelgleichung ein
(1) -a*(-2)² + b*(-2) + c = 0
(2) -a*2² + b*2 + c = 2
(3) -a*0² + b*0 + c = 1,5
Und nun löst man dieses Gleichungssystem auf.
Aus (3) ergibt sich sofort, dass c = 1,5 ist.
Das System reduziert sich so auf die Form:
(1) -4a -2b +1,5 = 0
(2) -4a +2b +1,5 = 2
Man zieht von der zweiten Gleichung einfach die erste ab:
(1) -4a -2b +1,5 = 0
(2) +4b = 2
b = 0,5
a = (2*0,5 - 1,5)/(-4) = (-0,5)/(-4)
a = 0,125
==> h(x) = -0,125x² + 0,5x + 1,5
Test:
h(-2) = -0,125*(-2)² + 0,5*(-2) + 1,5 = 0,5-1+1,5 = 0
h(2) = -0,125*2² + 0,5*2 + 1,5 = 0,5+1+1,5 = 2
h(0) = -0,125*0² + 0,5*0 + 1,5 = 1,5
Stimmt!
Also lautet die gesuchte Parabel: h(x) = -0,125x² + 0,5x + 1,5
Hast Du auch alles nachvollziehen können. Ich hoffe doch :-)
Schönen Tag noch
Justin |
Janine
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Dezember, 2001 - 16:15: |
|
Ich hätte nie gedacht das meine Aufgabe so schnell von euch bzw. dir bearbeitet wird. Deine Lösungen und Erklärungen haben mir sehr geholfen. (Zum Vergleich und an Stellen wo ich absolut nicht weiter wusste)
Vielen, vielen, lieben Dank!!!
Janine |
Nicole (Pauö)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Januar, 2002 - 15:54: |
|
Brauche Hilfe!
f(x)=x+8/x^2 -6<x<6
1) vollständige Kurvendiskussion
1)Eine Parabel die nach unten geöffnet ist, berührt die Funktion f(x) in den Punkt P(2\4)Außerdem haben die Parabel und die Funktion die gleiche Nullstelle und die Parabel schneidet die y-Achse im Punkt Y(0\4)!Bestimmen Sie die Gleichung der g(x) der Parabel |
Boris
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Januar, 2002 - 16:25: |
|
Hallo Nicole,
Bitte hänge Deine Fragen nicht an andere an! |
Hilde
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Januar, 2002 - 16:28: |
|
Hallo Janine,
Hast Du das als Hausaufgabe über Weihnachten aufbekommen?
Es wird allerdings ziemlich viel.
Ich versuche mal mein bestes und hoffe, dass Du auch alles verstehen und nachvollziehen kannst.
Ansonsten bringt's ja unterm Strich nichts.
f(x)=(x³+x²+4)/(2x²)
Kurvendiskussion
Zählerfunktion => u(x) = x³+x²+4
Nennerfunktion => v(x) = 2x²
1.) Definitonsbereich
Die Funktion im Nenner, also v(x) darf nicht NULL werden. Und das ist genau dann der Fall, wenn x=0 ist, denn:
2*x² = 0 => x=0
=> Definitionsbereich D = R{0}
2.) Nullstellen
Eine Nullstelle liegt vor, wenn die Zählerfunktion gleich NULL und die Nennerfunktion ungleich Null ist. Also u(x)=0 und v(x)<>0
Man muss also nur u(x) auf Nullstellen abklopfen.
u(x) = x³+x²+4
Wer einen Blick für solche Aufgaben hat, findet eine Nullstelle sofort:
Das Quadrat von x und dazu vier addiert soll dem negativen Betrag von x³ entsprechen.
Da der Ausdruck (x²+4) positiv sein muss, kann x³ nur negativ sein.
x muss also ebenfalls negativ sein.
Und wenn das Quadrat von x um vier erhöht schließlich x³ ergibt, kann x nur recht klein sein. Irgendwas zwischen 0 und -2 grob geschätzt.
Und Tatsache: x = -2
Wer nun diesen Blick nicht hat, muss auf andere Lösungsmöglichkeiten zurückgreifen, etwa das Tangentenverfahren. Dazu bildet man die erste Ableitung von u(x), nimmt einen beliebigen Wert x0 und berechnet folgendes:
x1 = x0 - u(x)/u'(x)
Und der Wert x1 wird dann wieder als x0-Wert in die Gleichung eingesetzt. Es wird so lange gerechnet, bis sich x0 und x1 kaum mehr im Betrag unterscheiden.
u'(x) = 3x²+2x
x1 = x0 - (x³+x²+4)/(3x²+2x)
x1 = -1 - (-1+1+4)/(3*1-2*1) = -1 - (-4/1) = -5
x2 = -5 - (-5³+5²+4)/(3*(-5)²-2*5) = -5 - (-1,477) = -3,523
x3 ...
Nach sechs Rechenschritten kommt man dann auch hier auf einen Wert von x = -2
Gibt es noch mehr Nullstellen außer x = -2 ?
Dazu dividiert man u(x) durch (x+2)
(x³+x²+4) : (x+2) = x²-x+2
-(x³+2x²)
---------
-x²+4
-(-x²-2x)
---------
2x+4
-(2x+4)
-------
0
Man erhält also die Funktion x²-x+2. Diese sucht man nun auf die für quadratische Funktionen bekannte Art nach Nullstellen ab.
x1 = -p/2 + WURZEL(p²/4 - q) = 1/2 + WURZEL(1/4 - 2) = 1/2 + WURZEL(-1,75)
x2 = -p/2 - WURZEL(p²/4 - q) = 1/2 + WURZEL(1/4 - 2) = 1/2 - WURZEL(-1,75)
Da man aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen kann, gibt es also keine weiteren Nullstellen.
Ergebnis:
f(x)=(x³+x²+4)/(2x²) hat an der Stelle x=(-2) eine Nullstelle.
3.) Schnittpunkt mit der Y-Achse.
Gibt's keinen, denn die Funktion ist ja für x=0 nicht definiert.
4.) Grenzwertverhalten
Man testet die Funktion also für x => PLUS/MINUS unendlich UND natürlich für x => 0.
a) Verhalten für x gegen PLUS/MINUS unendlich
f(x)=(x³+x²+4)/(2x²) formt man um, indem man die Funktion sozusagen ausdividiert
(x³+x²+4)/(2x²) = x/2 + 1/2 + 2/x²
Und man sieht nun:
limes x/2 + 1/2 + 2/x² => unendlich
Aber: es gibt eine sogenannte "schräge Asymptote", also eine Gerade, der sich die Funktion immer weiter annähert, je weiter x gegen unendlich läuft.
Die Gleichung für die Geraden lautet g(x) = x/2 + 1/2.
Der Ausdruck 2/x² fällt weg, weil er ja für x=>unendlich gegen NULL geht.
b) Verhalten für x gegen NULL
f(x)=(x³+x²+4)/(2x²)
f(0) = (0+0+4)/(0) = 4/0
Die Funktion läuft also bei Annäherung an den Wert x=0 gegen unendlich. Man hat es hier also mit einer vertikalen Asymptote zu tun. Man sagt auch Polstelle dazu.
Außerdem gilt noch folgendes:
Bei x=0 fallen in der Nennerfunktion v(x)=2*x² beide Nullstellen zusammen!
Dabei hat man es bei x=0 mit einer Polstelle 2.Grades zu tun.
Das heißt: Die Funktion macht beim "Sprung" über die Polstelle KEINEN Vorzeichenwechsel.
Der Graph schießt also ins positiv unendliche wenn er sich der Stelle x=0 annähert und kommt aus dem positiv unendlichen wieder zurück, wenn x>0 wird.
Ergebnis:
f(x)=(x³+x²+4)/(2x²)
=> strebt für x=> PLUS/MINUS unendlich gegen die Asymptote g(x) = x/2 + 1/2
=> hat an der Stelle x=0 eine Polstelle zweiten Grades.
5.) Berechnung f'(x) und f''(x)
f(x)=(x³+x²+4)/(2x²)
f'(x) = (u'(x)*(v(x)) - v'(x)*u(x)) / v²(x)
= ((3x²+2x)*(2x²) - 4x*(x³+x²+4)) / (4x^4)
= (6x^4 + 4x³ - 4x^4 - 4x³ - 16x) / (4x^4)
= (2x^4 - 16x) / (4x^4)
f'(x) = (x^4 - 8x) / (2x^4)
f''(x) = ((4x³-8)*(2x^4) - 8x³*(x^4-8x)) / (4x^8)
= ((8x^7 - 16x^4 - 8x^7 + 64x^4) / (4x^8))
= 48x^4 / 4x^8
f''(x) = 12/x^4
6.) Berechnung der Extremwerte
Erste Ableitung gleich NULL setzen.
f'(x) = (x^4 - 8x) / (2x^4)
0 = (x^4 - 8x) / (2x^4)
Hier gilt nun wieder das gleiche wie beim Berechnen der Nullstelle(n) von f(x): die Funktion im Zähler muss NULL werden und die im Nenner <>0
0 = (x^4 - 8x)
0 = x*(x^3 - 8)
=> Extremwertstelle x=0 => zählt aber nicht, da f(x) an dieser Stelle nicht definiert ist.
0 = x^3 - 8
8 = x^3
x = 2
=> Extremwertstelle x=2
f(2) = (2³+2²+4)/(2*2²) = 16/8 = 2
f'(2) = (2^4 - 8*2) / (2*2^4) = 0/32 = 0
f''(2) = 12/2^4 = 12/16
=> Da die zweite Ableitung für x=2 einen positiven Wert aufzeigt, hat die Funktion bei x=2 ein lokales Minimum.
7.) Monotonieverhalten
Die Funktion f(x) ist für x < 0 streng monoton steigend, da in diesem Bereich keine Extremwerte vorliegen und die Funktion bei x=0 gegen PLUS unendlich läuft.
Für 0 < x < 2 ist die Funktion streng monoton fallend, da die Funktion aus dem positiv Unendlichen kommt und bei x=2 ein lokales Minimum erreicht.
Für x > 2 ist die Funktion streng monoton steigend, da nach dem lokalen Minimum die Steigung wieder positiv ist, keine weiteren Extremwerte vorhanden sind und die Funktion sich der Asymptote g(x) = x/2 +1/2 annähert.
8.) Wendestellen
f''(x) = 12/x^4
0 = 12/x^4
Diese Gleichung hat keine Lösung, da NULL nur erreicht werden kann, wenn x gegen unendlich läuft.
Es gibt also keine Wendestellen.
9.) Wertebereich
Der Wertebereich W der Funktion f(x) umfasst den gesamten Bereich der reelen Zahlen.
W = R
10.) Symmetrieeigenschaften
Der Graph von f(x) kann auf Grund der Polstelle zweiten Grades nur achsensymmetrisch sein. Das ist er aber nicht, da nur auf einer Seite des Graphen ein Extremwert zu finden ist und außerem eine Asymptote g(x) = x/2 + 1/2 keine Achsensymmetrie zulässt.
Nun zur Suche nach der Parabel
P1 = (-2/0)
P2 = (2/2)
Schnittpunkt der y-Achse bei 1,5 => P3 = (0/1,5)
nach unten geöffnet => h(x) = -ax² + bx + c
Fakt ist: die Punkte P1 und P2 liegen auf f(x), denn P1 entspricht der ermittelten Nullstelle, P2 dem lokale Minimum von f(x)
Um die Parabelgleichung aus den gegebenen Punkten zu erhalten, setzt man die x- und y-Werte einfach in die Parabelgleichung ein
(1) -a*(-2)² + b*(-2) + c = 0
(2) -a*2² + b*2 + c = 2
(3) -a*0² + b*0 + c = 1,5
Und nun löst man dieses Gleichungssystem auf.
Aus (3) ergibt sich sofort, dass c = 1,5 ist.
Das System reduziert sich so auf die Form:
(1) -4a -2b +1,5 = 0
(2) -4a +2b +1,5 = 2
Man zieht von der zweiten Gleichung einfach die erste ab:
(1) -4a -2b +1,5 = 0
(2) +4b = 2
b = 0,5
a = (2*0,5 - 1,5)/(-4) = (-0,5)/(-4)
a = 0,125
==> h(x) = -0,125x² + 0,5x + 1,5
Test:
h(-2) = -0,125*(-2)² + 0,5*(-2) + 1,5 = 0,5-1+1,5 = 0
h(2) = -0,125*2² + 0,5*2 + 1,5 = 0,5+1+1,5 = 2
h(0) = -0,125*0² + 0,5*0 + 1,5 = 1,5
Stimmt!
Also lautet die gesuchte Parabel: h(x) = -0,125x² + 0,5x + 1,5
Hast Du auch alles nachvollziehen können. Ich hoffe doch :-)
Schönen Tag noch |
Ariane Dietrich (Arianschen)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Januar, 2002 - 00:48: |
|
Hallo, ich brauche unbedingt Eure Hilfe!!
Das sind die Aufgaben:
Führen Sie zu folgenden Funktionen eine vollständige Kurvendiskussion durch
1.) f(x)= 1/6 * x³/x²-4
2.) g(x)= 3 Wurzelx -x
( Auf dem Graphen von g(x) liegt ein Punkt P(x ;g(x) mit
0 kleiner als x kleiner als 9, so dass das Dreieck POQ mit O (0/0) Q(x/0) einen maximalen Flächeninhalt besitzt. Berechnen Sie den Punkt P und den Flächeninhalt dieses Dreiecks!)
3.) h(x)= -1/9x^4+8/3x²
(Geben Sie die Gleichungen der Wendetangenten an! Überprüfen Sie die Existenz von Tangenten an den Graphen h(x), die senkrecht auf einer der Wendetangenten stehen! Geben Sie im Falle der Existenz deren Gleichungen an!) |
Siegmund
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Januar, 2002 - 09:57: |
|
Hallo Janine,
Hast Du das als Hausaufgabe über Weihnachten aufbekommen?
Es wird allerdings ziemlich viel.
Ich versuche mal mein bestes und hoffe, dass Du auch alles verstehen und nachvollziehen kannst.
Ansonsten bringt's ja unterm Strich nichts.
f(x)=(x³+x²+4)/(2x²)
Kurvendiskussion
Zählerfunktion => u(x) = x³+x²+4
Nennerfunktion => v(x) = 2x²
1.) Definitonsbereich
Die Funktion im Nenner, also v(x) darf nicht NULL werden. Und das ist genau dann der Fall, wenn x=0 ist, denn:
2*x² = 0 => x=0
=> Definitionsbereich D = R{0}
2.) Nullstellen
Eine Nullstelle liegt vor, wenn die Zählerfunktion gleich NULL und die Nennerfunktion ungleich Null ist. Also u(x)=0 und v(x)<>0
Man muss also nur u(x) auf Nullstellen abklopfen.
u(x) = x³+x²+4
Wer einen Blick für solche Aufgaben hat, findet eine Nullstelle sofort:
Das Quadrat von x und dazu vier addiert soll dem negativen Betrag von x³ entsprechen.
Da der Ausdruck (x²+4) positiv sein muss, kann x³ nur negativ sein.
x muss also ebenfalls negativ sein.
Und wenn das Quadrat von x um vier erhöht schließlich x³ ergibt, kann x nur recht klein sein. Irgendwas zwischen 0 und -2 grob geschätzt.
Und Tatsache: x = -2
Wer nun diesen Blick nicht hat, muss auf andere Lösungsmöglichkeiten zurückgreifen, etwa das Tangentenverfahren. Dazu bildet man die erste Ableitung von u(x), nimmt einen beliebigen Wert x0 und berechnet folgendes:
x1 = x0 - u(x)/u'(x)
Und der Wert x1 wird dann wieder als x0-Wert in die Gleichung eingesetzt. Es wird so lange gerechnet, bis sich x0 und x1 kaum mehr im Betrag unterscheiden.
u'(x) = 3x²+2x
x1 = x0 - (x³+x²+4)/(3x²+2x)
x1 = -1 - (-1+1+4)/(3*1-2*1) = -1 - (-4/1) = -5
x2 = -5 - (-5³+5²+4)/(3*(-5)²-2*5) = -5 - (-1,477) = -3,523
x3 ...
Nach sechs Rechenschritten kommt man dann auch hier auf einen Wert von x = -2
Gibt es noch mehr Nullstellen außer x = -2 ?
Dazu dividiert man u(x) durch (x+2)
(x³+x²+4) : (x+2) = x²-x+2
-(x³+2x²)
---------
-x²+4
-(-x²-2x)
---------
2x+4
-(2x+4)
-------
0
Man erhält also die Funktion x²-x+2. Diese sucht man nun auf die für quadratische Funktionen bekannte Art nach Nullstellen ab.
x1 = -p/2 + WURZEL(p²/4 - q) = 1/2 + WURZEL(1/4 - 2) = 1/2 + WURZEL(-1,75)
x2 = -p/2 - WURZEL(p²/4 - q) = 1/2 + WURZEL(1/4 - 2) = 1/2 - WURZEL(-1,75)
Da man aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen kann, gibt es also keine weiteren Nullstellen.
Ergebnis:
f(x)=(x³+x²+4)/(2x²) hat an der Stelle x=(-2) eine Nullstelle.
3.) Schnittpunkt mit der Y-Achse.
Gibt's keinen, denn die Funktion ist ja für x=0 nicht definiert.
4.) Grenzwertverhalten
Man testet die Funktion also für x => PLUS/MINUS unendlich UND natürlich für x => 0.
a) Verhalten für x gegen PLUS/MINUS unendlich
f(x)=(x³+x²+4)/(2x²) formt man um, indem man die Funktion sozusagen ausdividiert
(x³+x²+4)/(2x²) = x/2 + 1/2 + 2/x²
Und man sieht nun:
limes x/2 + 1/2 + 2/x² => unendlich
Aber: es gibt eine sogenannte "schräge Asymptote", also eine Gerade, der sich die Funktion immer weiter annähert, je weiter x gegen unendlich läuft.
Die Gleichung für die Geraden lautet g(x) = x/2 + 1/2.
Der Ausdruck 2/x² fällt weg, weil er ja für x=>unendlich gegen NULL geht.
b) Verhalten für x gegen NULL
f(x)=(x³+x²+4)/(2x²)
f(0) = (0+0+4)/(0) = 4/0
Die Funktion läuft also bei Annäherung an den Wert x=0 gegen unendlich. Man hat es hier also mit einer vertikalen Asymptote zu tun. Man sagt auch Polstelle dazu.
Außerdem gilt noch folgendes:
Bei x=0 fallen in der Nennerfunktion v(x)=2*x² beide Nullstellen zusammen!
Dabei hat man es bei x=0 mit einer Polstelle 2.Grades zu tun.
Das heißt: Die Funktion macht beim "Sprung" über die Polstelle KEINEN Vorzeichenwechsel.
Der Graph schießt also ins positiv unendliche wenn er sich der Stelle x=0 annähert und kommt aus dem positiv unendlichen wieder zurück, wenn x>0 wird.
Ergebnis:
f(x)=(x³+x²+4)/(2x²)
=> strebt für x=> PLUS/MINUS unendlich gegen die Asymptote g(x) = x/2 + 1/2
=> hat an der Stelle x=0 eine Polstelle zweiten Grades.
5.) Berechnung f'(x) und f''(x)
f(x)=(x³+x²+4)/(2x²)
f'(x) = (u'(x)*(v(x)) - v'(x)*u(x)) / v²(x)
= ((3x²+2x)*(2x²) - 4x*(x³+x²+4)) / (4x^4)
= (6x^4 + 4x³ - 4x^4 - 4x³ - 16x) / (4x^4)
= (2x^4 - 16x) / (4x^4)
f'(x) = (x^4 - 8x) / (2x^4)
f''(x) = ((4x³-8)*(2x^4) - 8x³*(x^4-8x)) / (4x^8)
= ((8x^7 - 16x^4 - 8x^7 + 64x^4) / (4x^8))
= 48x^4 / 4x^8
f''(x) = 12/x^4
6.) Berechnung der Extremwerte
Erste Ableitung gleich NULL setzen.
f'(x) = (x^4 - 8x) / (2x^4)
0 = (x^4 - 8x) / (2x^4)
Hier gilt nun wieder das gleiche wie beim Berechnen der Nullstelle(n) von f(x): die Funktion im Zähler muss NULL werden und die im Nenner <>0
0 = (x^4 - 8x)
0 = x*(x^3 - 8)
=> Extremwertstelle x=0 => zählt aber nicht, da f(x) an dieser Stelle nicht definiert ist.
0 = x^3 - 8
8 = x^3
x = 2
=> Extremwertstelle x=2
f(2) = (2³+2²+4)/(2*2²) = 16/8 = 2
f'(2) = (2^4 - 8*2) / (2*2^4) = 0/32 = 0
f''(2) = 12/2^4 = 12/16
=> Da die zweite Ableitung für x=2 einen positiven Wert aufzeigt, hat die Funktion bei x=2 ein lokales Minimum.
7.) Monotonieverhalten
Die Funktion f(x) ist für x < 0 streng monoton steigend, da in diesem Bereich keine Extremwerte vorliegen und die Funktion bei x=0 gegen PLUS unendlich läuft.
Für 0 < x < 2 ist die Funktion streng monoton fallend, da die Funktion aus dem positiv Unendlichen kommt und bei x=2 ein lokales Minimum erreicht.
Für x > 2 ist die Funktion streng monoton steigend, da nach dem lokalen Minimum die Steigung wieder positiv ist, keine weiteren Extremwerte vorhanden sind und die Funktion sich der Asymptote g(x) = x/2 +1/2 annähert.
8.) Wendestellen
f''(x) = 12/x^4
0 = 12/x^4
Diese Gleichung hat keine Lösung, da NULL nur erreicht werden kann, wenn x gegen unendlich läuft.
Es gibt also keine Wendestellen.
9.) Wertebereich
Der Wertebereich W der Funktion f(x) umfasst den gesamten Bereich der reelen Zahlen.
W = R
10.) Symmetrieeigenschaften
Der Graph von f(x) kann auf Grund der Polstelle zweiten Grades nur achsensymmetrisch sein. Das ist er aber nicht, da nur auf einer Seite des Graphen ein Extremwert zu finden ist und außerem eine Asymptote g(x) = x/2 + 1/2 keine Achsensymmetrie zulässt.
Nun zur Suche nach der Parabel
P1 = (-2/0)
P2 = (2/2)
Schnittpunkt der y-Achse bei 1,5 => P3 = (0/1,5)
nach unten geöffnet => h(x) = -ax² + bx + c
Fakt ist: die Punkte P1 und P2 liegen auf f(x), denn P1 entspricht der ermittelten Nullstelle, P2 dem lokale Minimum von f(x)
Um die Parabelgleichung aus den gegebenen Punkten zu erhalten, setzt man die x- und y-Werte einfach in die Parabelgleichung ein
(1) -a*(-2)² + b*(-2) + c = 0
(2) -a*2² + b*2 + c = 2
(3) -a*0² + b*0 + c = 1,5
Und nun löst man dieses Gleichungssystem auf.
Aus (3) ergibt sich sofort, dass c = 1,5 ist.
Das System reduziert sich so auf die Form:
(1) -4a -2b +1,5 = 0
(2) -4a +2b +1,5 = 2
Man zieht von der zweiten Gleichung einfach die erste ab:
(1) -4a -2b +1,5 = 0
(2) +4b = 2
b = 0,5
a = (2*0,5 - 1,5)/(-4) = (-0,5)/(-4)
a = 0,125
==> h(x) = -0,125x² + 0,5x + 1,5
Test:
h(-2) = -0,125*(-2)² + 0,5*(-2) + 1,5 = 0,5-1+1,5 = 0
h(2) = -0,125*2² + 0,5*2 + 1,5 = 0,5+1+1,5 = 2
h(0) = -0,125*0² + 0,5*0 + 1,5 = 1,5
Stimmt!
Also lautet die gesuchte Parabel: h(x) = -0,125x² + 0,5x + 1,5
Hast Du auch alles nachvollziehen können. Ich hoffe doch :-) |
Nicole (Pauö)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Januar, 2002 - 11:39: |
|
Boris,du hast gut reden,du bekommst ja nicht solche scheiß Aufgaben auf!Ausserdem hab ich schon angefangen,aber ich komm nicht weiter und schließlich ist ja diese Seite dazu da um anderen zu helfen!Und ich wäre echt glücklich ,wenn ihr mir helfen könntet! |
Boris
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Januar, 2002 - 17:13: |
|
Hallo Janine,
Hast Du das als Hausaufgabe über Weihnachten aufbekommen?
Es wird allerdings ziemlich viel.
Ich versuche mal mein bestes und hoffe, dass Du auch alles verstehen und nachvollziehen kannst.
Ansonsten bringt's ja unterm Strich nichts.
f(x)=(x³+x²+4)/(2x²)
Kurvendiskussion
Zählerfunktion => u(x) = x³+x²+4
Nennerfunktion => v(x) = 2x²
1.) Definitonsbereich
Die Funktion im Nenner, also v(x) darf nicht NULL werden. Und das ist genau dann der Fall, wenn x=0 ist, denn:
2*x² = 0 => x=0
=> Definitionsbereich D = R{0}
2.) Nullstellen
Eine Nullstelle liegt vor, wenn die Zählerfunktion gleich NULL und die Nennerfunktion ungleich Null ist. Also u(x)=0 und v(x)<>0
Man muss also nur u(x) auf Nullstellen abklopfen.
u(x) = x³+x²+4
Wer einen Blick für solche Aufgaben hat, findet eine Nullstelle sofort:
Das Quadrat von x und dazu vier addiert soll dem negativen Betrag von x³ entsprechen.
Da der Ausdruck (x²+4) positiv sein muss, kann x³ nur negativ sein.
x muss also ebenfalls negativ sein.
Und wenn das Quadrat von x um vier erhöht schließlich x³ ergibt, kann x nur recht klein sein. Irgendwas zwischen 0 und -2 grob geschätzt.
Und Tatsache: x = -2
Wer nun diesen Blick nicht hat, muss auf andere Lösungsmöglichkeiten zurückgreifen, etwa das Tangentenverfahren. Dazu bildet man die erste Ableitung von u(x), nimmt einen beliebigen Wert x0 und berechnet folgendes:
x1 = x0 - u(x)/u'(x)
Und der Wert x1 wird dann wieder als x0-Wert in die Gleichung eingesetzt. Es wird so lange gerechnet, bis sich x0 und x1 kaum mehr im Betrag unterscheiden.
u'(x) = 3x²+2x
x1 = x0 - (x³+x²+4)/(3x²+2x)
x1 = -1 - (-1+1+4)/(3*1-2*1) = -1 - (-4/1) = -5
x2 = -5 - (-5³+5²+4)/(3*(-5)²-2*5) = -5 - (-1,477) = -3,523
x3 ...
Nach sechs Rechenschritten kommt man dann auch hier auf einen Wert von x = -2
Gibt es noch mehr Nullstellen außer x = -2 ?
Dazu dividiert man u(x) durch (x+2)
(x³+x²+4) : (x+2) = x²-x+2
-(x³+2x²)
---------
-x²+4
-(-x²-2x)
---------
2x+4
-(2x+4)
-------
0
Man erhält also die Funktion x²-x+2. Diese sucht man nun auf die für quadratische Funktionen bekannte Art nach Nullstellen ab.
x1 = -p/2 + WURZEL(p²/4 - q) = 1/2 + WURZEL(1/4 - 2) = 1/2 + WURZEL(-1,75)
x2 = -p/2 - WURZEL(p²/4 - q) = 1/2 + WURZEL(1/4 - 2) = 1/2 - WURZEL(-1,75)
Da man aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen kann, gibt es also keine weiteren Nullstellen.
Ergebnis:
f(x)=(x³+x²+4)/(2x²) hat an der Stelle x=(-2) eine Nullstelle.
3.) Schnittpunkt mit der Y-Achse.
Gibt's keinen, denn die Funktion ist ja für x=0 nicht definiert.
4.) Grenzwertverhalten
Man testet die Funktion also für x => PLUS/MINUS unendlich UND natürlich für x => 0.
a) Verhalten für x gegen PLUS/MINUS unendlich
f(x)=(x³+x²+4)/(2x²) formt man um, indem man die Funktion sozusagen ausdividiert
(x³+x²+4)/(2x²) = x/2 + 1/2 + 2/x²
Und man sieht nun:
limes x/2 + 1/2 + 2/x² => unendlich
Aber: es gibt eine sogenannte "schräge Asymptote", also eine Gerade, der sich die Funktion immer weiter annähert, je weiter x gegen unendlich läuft.
Die Gleichung für die Geraden lautet g(x) = x/2 + 1/2.
Der Ausdruck 2/x² fällt weg, weil er ja für x=>unendlich gegen NULL geht.
b) Verhalten für x gegen NULL
f(x)=(x³+x²+4)/(2x²)
f(0) = (0+0+4)/(0) = 4/0
Die Funktion läuft also bei Annäherung an den Wert x=0 gegen unendlich. Man hat es hier also mit einer vertikalen Asymptote zu tun. Man sagt auch Polstelle dazu.
Außerdem gilt noch folgendes:
Bei x=0 fallen in der Nennerfunktion v(x)=2*x² beide Nullstellen zusammen!
Dabei hat man es bei x=0 mit einer Polstelle 2.Grades zu tun.
Das heißt: Die Funktion macht beim "Sprung" über die Polstelle KEINEN Vorzeichenwechsel.
Der Graph schießt also ins positiv unendliche wenn er sich der Stelle x=0 annähert und kommt aus dem positiv unendlichen wieder zurück, wenn x>0 wird.
Ergebnis:
f(x)=(x³+x²+4)/(2x²)
=> strebt für x=> PLUS/MINUS unendlich gegen die Asymptote g(x) = x/2 + 1/2
=> hat an der Stelle x=0 eine Polstelle zweiten Grades.
5.) Berechnung f'(x) und f''(x)
f(x)=(x³+x²+4)/(2x²)
f'(x) = (u'(x)*(v(x)) - v'(x)*u(x)) / v²(x)
= ((3x²+2x)*(2x²) - 4x*(x³+x²+4)) / (4x^4)
= (6x^4 + 4x³ - 4x^4 - 4x³ - 16x) / (4x^4)
= (2x^4 - 16x) / (4x^4)
f'(x) = (x^4 - 8x) / (2x^4)
f''(x) = ((4x³-8)*(2x^4) - 8x³*(x^4-8x)) / (4x^8)
= ((8x^7 - 16x^4 - 8x^7 + 64x^4) / (4x^8))
= 48x^4 / 4x^8
f''(x) = 12/x^4
6.) Berechnung der Extremwerte
Erste Ableitung gleich NULL setzen.
f'(x) = (x^4 - 8x) / (2x^4)
0 = (x^4 - 8x) / (2x^4)
Hier gilt nun wieder das gleiche wie beim Berechnen der Nullstelle(n) von f(x): die Funktion im Zähler muss NULL werden und die im Nenner <>0
0 = (x^4 - 8x)
0 = x*(x^3 - 8)
=> Extremwertstelle x=0 => zählt aber nicht, da f(x) an dieser Stelle nicht definiert ist.
0 = x^3 - 8
8 = x^3
x = 2
=> Extremwertstelle x=2
f(2) = (2³+2²+4)/(2*2²) = 16/8 = 2
f'(2) = (2^4 - 8*2) / (2*2^4) = 0/32 = 0
f''(2) = 12/2^4 = 12/16
=> Da die zweite Ableitung für x=2 einen positiven Wert aufzeigt, hat die Funktion bei x=2 ein lokales Minimum.
7.) Monotonieverhalten
Die Funktion f(x) ist für x < 0 streng monoton steigend, da in diesem Bereich keine Extremwerte vorliegen und die Funktion bei x=0 gegen PLUS unendlich läuft.
Für 0 < x < 2 ist die Funktion streng monoton fallend, da die Funktion aus dem positiv Unendlichen kommt und bei x=2 ein lokales Minimum erreicht.
Für x > 2 ist die Funktion streng monoton steigend, da nach dem lokalen Minimum die Steigung wieder positiv ist, keine weiteren Extremwerte vorhanden sind und die Funktion sich der Asymptote g(x) = x/2 +1/2 annähert.
8.) Wendestellen
f''(x) = 12/x^4
0 = 12/x^4
Diese Gleichung hat keine Lösung, da NULL nur erreicht werden kann, wenn x gegen unendlich läuft.
Es gibt also keine Wendestellen.
9.) Wertebereich
Der Wertebereich W der Funktion f(x) umfasst den gesamten Bereich der reelen Zahlen.
W = R
10.) Symmetrieeigenschaften
Der Graph von f(x) kann auf Grund der Polstelle zweiten Grades nur achsensymmetrisch sein. Das ist er aber nicht, da nur auf einer Seite des Graphen ein Extremwert zu finden ist und außerem eine Asymptote g(x) = x/2 + 1/2 keine Achsensymmetrie zulässt.
Nun zur Suche nach der Parabel
P1 = (-2/0)
P2 = (2/2)
Schnittpunkt der y-Achse bei 1,5 => P3 = (0/1,5)
nach unten geöffnet => h(x) = -ax² + bx + c
Fakt ist: die Punkte P1 und P2 liegen auf f(x), denn P1 entspricht der ermittelten Nullstelle, P2 dem lokale Minimum von f(x)
Um die Parabelgleichung aus den gegebenen Punkten zu erhalten, setzt man die x- und y-Werte einfach in die Parabelgleichung ein
(1) -a*(-2)² + b*(-2) + c = 0
(2) -a*2² + b*2 + c = 2
(3) -a*0² + b*0 + c = 1,5
Und nun löst man dieses Gleichungssystem auf.
Aus (3) ergibt sich sofort, dass c = 1,5 ist.
Das System reduziert sich so auf die Form:
(1) -4a -2b +1,5 = 0
(2) -4a +2b +1,5 = 2
Man zieht von der zweiten Gleichung einfach die erste ab:
(1) -4a -2b +1,5 = 0
(2) +4b = 2
b = 0,5
a = (2*0,5 - 1,5)/(-4) = (-0,5)/(-4)
a = 0,125
==> h(x) = -0,125x² + 0,5x + 1,5
Test:
h(-2) = -0,125*(-2)² + 0,5*(-2) + 1,5 = 0,5-1+1,5 = 0
h(2) = -0,125*2² + 0,5*2 + 1,5 = 0,5+1+1,5 = 2
h(0) = -0,125*0² + 0,5*0 + 1,5 = 1,5
Stimmt!
Also lautet die gesuchte Parabel: h(x) = -0,125x² + 0,5x + 1,5 |
Darkchatter
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Januar, 2002 - 13:58: |
|
Hab da mal nen Prob!
Weil komm mit den Gebrochen-Rationalen Funktionen nicht so ganz klar!
Ich hoff ihr könnt mir da mal weiter helfen!*bettel*
(x² + 4x + t) // (x - 1)
(und zwar Asymptoten, Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte)
danke schon mal im vorraus
cya |
Nelko
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Januar, 2002 - 17:10: |
|
Hallo Darkchatter,
Warum öffnest Du nicht einen neuen Beitrag?
Zählerfunktion => u(x) = x³+x²+4
Nennerfunktion => v(x) = 2x²
1.) Definitonsbereich
Die Funktion im Nenner, also v(x) darf nicht NULL werden. Und das ist genau dann der Fall, wenn x=0 ist, denn:
2*x² = 0 => x=0
=> Definitionsbereich D = R{0}
2.) Nullstellen
Eine Nullstelle liegt vor, wenn die Zählerfunktion gleich NULL und die Nennerfunktion ungleich Null ist. Also u(x)=0 und v(x)<>0
Man muss also nur u(x) auf Nullstellen abklopfen.
u(x) = x³+x²+4
Wer einen Blick für solche Aufgaben hat, findet eine Nullstelle sofort:
Das Quadrat von x und dazu vier addiert soll dem negativen Betrag von x³ entsprechen.
Da der Ausdruck (x²+4) positiv sein muss, kann x³ nur negativ sein.
x muss also ebenfalls negativ sein.
Und wenn das Quadrat von x um vier erhöht schließlich x³ ergibt, kann x nur recht klein sein. Irgendwas zwischen 0 und -2 grob geschätzt.
Und Tatsache: x = -2
Wer nun diesen Blick nicht hat, muss auf andere Lösungsmöglichkeiten zurückgreifen, etwa das Tangentenverfahren. Dazu bildet man die erste Ableitung von u(x), nimmt einen beliebigen Wert x0 und berechnet folgendes:
x1 = x0 - u(x)/u'(x)
Und der Wert x1 wird dann wieder als x0-Wert in die Gleichung eingesetzt. Es wird so lange gerechnet, bis sich x0 und x1 kaum mehr im Betrag unterscheiden.
u'(x) = 3x²+2x
x1 = x0 - (x³+x²+4)/(3x²+2x)
x1 = -1 - (-1+1+4)/(3*1-2*1) = -1 - (-4/1) = -5
x2 = -5 - (-5³+5²+4)/(3*(-5)²-2*5) = -5 - (-1,477) = -3,523
x3 ...
Nach sechs Rechenschritten kommt man dann auch hier auf einen Wert von x = -2
Gibt es noch mehr Nullstellen außer x = -2 ?
Dazu dividiert man u(x) durch (x+2)
(x³+x²+4) : (x+2) = x²-x+2
-(x³+2x²)
---------
-x²+4
-(-x²-2x)
---------
2x+4
-(2x+4)
-------
0
Man erhält also die Funktion x²-x+2. Diese sucht man nun auf die für quadratische Funktionen bekannte Art nach Nullstellen ab.
x1 = -p/2 + WURZEL(p²/4 - q) = 1/2 + WURZEL(1/4 - 2) = 1/2 + WURZEL(-1,75)
x2 = -p/2 - WURZEL(p²/4 - q) = 1/2 + WURZEL(1/4 - 2) = 1/2 - WURZEL(-1,75)
Da man aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen kann, gibt es also keine weiteren Nullstellen.
Ergebnis:
f(x)=(x³+x²+4)/(2x²) hat an der Stelle x=(-2) eine Nullstelle.
3.) Schnittpunkt mit der Y-Achse.
Gibt's keinen, denn die Funktion ist ja für x=0 nicht definiert.
4.) Grenzwertverhalten
Man testet die Funktion also für x => PLUS/MINUS unendlich UND natürlich für x => 0.
a) Verhalten für x gegen PLUS/MINUS unendlich
f(x)=(x³+x²+4)/(2x²) formt man um, indem man die Funktion sozusagen ausdividiert
(x³+x²+4)/(2x²) = x/2 + 1/2 + 2/x²
Und man sieht nun:
limes x/2 + 1/2 + 2/x² => unendlich
Aber: es gibt eine sogenannte "schräge Asymptote", also eine Gerade, der sich die Funktion immer weiter annähert, je weiter x gegen unendlich läuft.
Die Gleichung für die Geraden lautet g(x) = x/2 + 1/2.
Der Ausdruck 2/x² fällt weg, weil er ja für x=>unendlich gegen NULL geht.
b) Verhalten für x gegen NULL
f(x)=(x³+x²+4)/(2x²)
f(0) = (0+0+4)/(0) = 4/0
Die Funktion läuft also bei Annäherung an den Wert x=0 gegen unendlich. Man hat es hier also mit einer vertikalen Asymptote zu tun. Man sagt auch Polstelle dazu.
Außerdem gilt noch folgendes:
Bei x=0 fallen in der Nennerfunktion v(x)=2*x² beide Nullstellen zusammen!
Dabei hat man es bei x=0 mit einer Polstelle 2.Grades zu tun.
Das heißt: Die Funktion macht beim "Sprung" über die Polstelle KEINEN Vorzeichenwechsel.
Der Graph schießt also ins positiv unendliche wenn er sich der Stelle x=0 annähert und kommt aus dem positiv unendlichen wieder zurück, wenn x>0 wird.
Ergebnis:
f(x)=(x³+x²+4)/(2x²)
=> strebt für x=> PLUS/MINUS unendlich gegen die Asymptote g(x) = x/2 + 1/2
=> hat an der Stelle x=0 eine Polstelle zweiten Grades.
5.) Berechnung f'(x) und f''(x)
f(x)=(x³+x²+4)/(2x²)
f'(x) = (u'(x)*(v(x)) - v'(x)*u(x)) / v²(x)
= ((3x²+2x)*(2x²) - 4x*(x³+x²+4)) / (4x^4)
= (6x^4 + 4x³ - 4x^4 - 4x³ - 16x) / (4x^4)
= (2x^4 - 16x) / (4x^4)
f'(x) = (x^4 - 8x) / (2x^4)
f''(x) = ((4x³-8)*(2x^4) - 8x³*(x^4-8x)) / (4x^8)
= ((8x^7 - 16x^4 - 8x^7 + 64x^4) / (4x^8))
= 48x^4 / 4x^8
f''(x) = 12/x^4
6.) Berechnung der Extremwerte
Erste Ableitung gleich NULL setzen.
f'(x) = (x^4 - 8x) / (2x^4)
0 = (x^4 - 8x) / (2x^4)
Hier gilt nun wieder das gleiche wie beim Berechnen der Nullstelle(n) von f(x): die Funktion im Zähler muss NULL werden und die im Nenner <>0
0 = (x^4 - 8x)
0 = x*(x^3 - 8)
=> Extremwertstelle x=0 => zählt aber nicht, da f(x) an dieser Stelle nicht definiert ist.
0 = x^3 - 8
8 = x^3
x = 2
=> Extremwertstelle x=2
f(2) = (2³+2²+4)/(2*2²) = 16/8 = 2
f'(2) = (2^4 - 8*2) / (2*2^4) = 0/32 = 0
f''(2) = 12/2^4 = 12/16
=> Da die zweite Ableitung für x=2 einen positiven Wert aufzeigt, hat die Funktion bei x=2 ein lokales Minimum.
7.) Monotonieverhalten
Die Funktion f(x) ist für x < 0 streng monoton steigend, da in diesem Bereich keine Extremwerte vorliegen und die Funktion bei x=0 gegen PLUS unendlich läuft.
Für 0 < x < 2 ist die Funktion streng monoton fallend, da die Funktion aus dem positiv Unendlichen kommt und bei x=2 ein lokales Minimum erreicht.
Für x > 2 ist die Funktion streng monoton steigend, da nach dem lokalen Minimum die Steigung wieder positiv ist, keine weiteren Extremwerte vorhanden sind und die Funktion sich der Asymptote g(x) = x/2 +1/2 annähert.
8.) Wendestellen
f''(x) = 12/x^4
0 = 12/x^4
Diese Gleichung hat keine Lösung, da NULL nur erreicht werden kann, wenn x gegen unendlich läuft.
Es gibt also keine Wendestellen.
9.) Wertebereich
Der Wertebereich W der Funktion f(x) umfasst den gesamten Bereich der reelen Zahlen.
W = R
10.) Symmetrieeigenschaften
Der Graph von f(x) kann auf Grund der Polstelle zweiten Grades nur achsensymmetrisch sein. Das ist er aber nicht, da nur auf einer Seite des Graphen ein Extremwert zu finden ist und außerem eine Asymptote g(x) = x/2 + 1/2 keine Achsensymmetrie zulässt.
Nun zur Suche nach der Parabel
P1 = (-2/0)
P2 = (2/2)
Schnittpunkt der y-Achse bei 1,5 => P3 = (0/1,5)
nach unten geöffnet => h(x) = -ax² + bx + c
Fakt ist: die Punkte P1 und P2 liegen auf f(x), denn P1 entspricht der ermittelten Nullstelle, P2 dem lokale Minimum von f(x)
Um die Parabelgleichung aus den gegebenen Punkten zu erhalten, setzt man die x- und y-Werte einfach in die Parabelgleichung ein
(1) -a*(-2)² + b*(-2) + c = 0
(2) -a*2² + b*2 + c = 2
(3) -a*0² + b*0 + c = 1,5
Und nun löst man dieses Gleichungssystem auf.
Aus (3) ergibt sich sofort, dass c = 1,5 ist.
Das System reduziert sich so auf die Form:
(1) -4a -2b +1,5 = 0
(2) -4a +2b +1,5 = 2
Man zieht von der zweiten Gleichung einfach die erste ab:
(1) -4a -2b +1,5 = 0
(2) +4b = 2
b = 0,5
a = (2*0,5 - 1,5)/(-4) = (-0,5)/(-4)
a = 0,125
==> h(x) = -0,125x² + 0,5x + 1,5
Test:
h(-2) = -0,125*(-2)² + 0,5*(-2) + 1,5 = 0,5-1+1,5 = 0
h(2) = -0,125*2² + 0,5*2 + 1,5 = 0,5+1+1,5 = 2
h(0) = -0,125*0² + 0,5*0 + 1,5 = 1,5
Stimmt!
Also lautet die gesuchte Parabel: h(x) = -0,125x² + 0,5x + 1,5 |
Justin
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Januar, 2002 - 18:01: |
|
Hallo Darkchatter,
eröffne doch mal einen neuen Beitrag mit Deiner Frage zur Kurvendiskussion.
****************************
Hallo an den/die Spammer,
vielen vielen Dank an den- oder diejenigen, die es hier für nötig halten, meinen Beitrag vom Anfang immer und immer wieder hier rein zu kopieren. Ich weiss zwar nicht, was Du/Ihr Dir/Euch dabei denk(s)t... ob überhaupt nachgedacht wird?
Aber zum Austoben und Spielchen machen gibts andere Foren, die wirklich besser fuer sowas geeignet sind.
MfG
Justin |
|
