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Kompliziert: Sachaufgabe - Radius ein...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klasse 11 » Geometrie » Kompliziert: Sachaufgabe - Radius eines Kreises « Zurück Vor »

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Carsten Baer
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. März, 2000 - 21:59:   Beitrag drucken

Auf den Rand einer kreisrunden Wiese mit dem Radius von 3m wird ein Pflock eingehackt, an dem eine Ziege angebunden wird.
Wie lang muß das Seil der Ziege sein, damit diese genau die Hälfte der Fläche der Wiese abgrasen kann?????
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Franz
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. März, 2000 - 11:03:   Beitrag drucken

Seillänge=Wurzel(2) * Wiesenradius ??
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Franz
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. März, 2000 - 11:41:   Beitrag drucken

M Wiesenmittelpunkt, R Radius; Z Ziegenbefestigung, r Radius. Man verlängert ZM zum Durchmesser des R-Kreises. Der r-Kreis schneidet den R-Kreis in A und den genannten Durchmesser in B. alpha=WINKEL(ZA;ZB) wird über Kosinussatz in ZAB bestimmt mit r=!!WURZEL(2)*R: cos(alpha)=r/(2R), alpha=pi/4, Fraßfläche A(r)=2alpha/2pi * pi*r²=pi*R²/2 die gesuchte halbe Wiesenfläche. (r wurde anhand der zyklometrischen Gleichung geraten.)
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Heino Stern
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. März, 2000 - 12:31:   Beitrag drucken

Hallo Carsten, das geht auch ohne Trigonometrie:
Deine Wiese mit Radius r = 3m hat die Fläche 3*3*PI= 9*PI.
Die arme angepflockte Ziege kann davon die Haelfte abgrasen, also 9/2 * PI, und das ist ebenfalls eine Kreisfläche (das Seil, an dem die Ziege hängt ist der Radius R - und den suchst Du).

Ist die Seillänge R, so ist die Kreisfläche
- einerseits R*R*PI
- andererseits 9/2 * PI

Also muß R*R = 9/2 sein

Daraus mußt Du die Wurzel ziehen, damit wird

R = 3 geteilt durch Wurzel aus 2

Viele Grüße, Heino Stern
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Heino Stern
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. März, 2000 - 12:41:   Beitrag drucken

Hallo Carsten, das geht auch ohne Trigonometrie:
Deine Wiese mit Radius r = 3m hat die Fläche 3*3*PI= 9*PI.
Die arme angepflockte Ziege kann davon die Haelfte abgrasen, also 9/2 * PI, und das ist ebenfalls eine Kreisfläche (das Seil, an dem die Ziege hängt ist der Radius R - und den suchst Du).

Ist die Seillänge R, so ist die Kreisfläche
- einerseits R*R*PI
- andererseits 9/2 * PI

Also muß R*R = 9/2 sein

Daraus mußt Du die Wurzel ziehen, damit wird

R = 3 geteilt durch Wurzel aus 2

Viele Grüße, Heino Stern
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Franz
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. März, 2000 - 12:47:   Beitrag drucken

Wegen Befestigung des Seils auf der Peripherie der Wiese ist die Fraßfläche kein Kreis.
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Fern
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. März, 2000 - 19:41:   Beitrag drucken

Hallo Carsten,
Koordinatenursprung im Ziegenkreismittelpunkt,
Grasmitte bei (3,0)
====================
Aus Symetriegründen werden nur die Halbkreise
oberhalb der x-Achse betrachtet:


Ziegenkreis: Radius r
x²+y²=r²
daraus y²=r²-x²

Graskreis: Radius=3

(x-3)²+y²=9
daraus y²=9-(x-3)²

Schnittpunkt der beiden Kreise:
r²-x²=9-(x-3)²
xs=r²/6......x-Koordinate des Schnittpunktes.


Ziegenkreis: y=W(r²-x²)
Graskreis: y=W(9-(x-3)²)

Halbe Fressfläche:

a

dies ist eine Funktion von r.

A muss gleich sein 9/4*pi (=halber Graskreis)

Daraus kann man r ermitteln.
Ich habe dies nur numerisch gemacht:

r=3,47618 m .....Länge des Ziegenseiles.
=======================================
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Franz
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. März, 2000 - 23:11:   Beitrag drucken

Wunderbar!! Ich hatte das Segment oberhalb des Ziegenkreissektors vergessen. Deshalb der zu lange Strick; auch wenn's dem Schwein recht gewesen wäre.

Analog kann man den mondförmigen Rest der Wiese bestimmen durch Umstellung der Kreisfunktionen nach x(y) und INT[0..R](xGras(y)-xZiege(y))dy.

Bis demnächst :-), F.
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Carsten Baer
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Veröffentlicht am Freitag, den 10. März, 2000 - 17:33:   Beitrag drucken

Super!
Danke Mr. Fern und Franz.
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Adam Riese
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Veröffentlicht am Freitag, den 10. März, 2000 - 21:48:   Beitrag drucken

Das ist eine beliebte Aufgabe. Ich habe sie auch schon zum drittenmal hier im Board gesehen.
An folgender Stelle könnt ihr ne Menge darüber finden:
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/24/167.html#POST1747

Adam

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