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Kreiskegel mit Zylinder / Zylinder

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Ginny (Jollyjane)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Dezember, 2001 - 22:52:   Beitrag drucken

1.) In einen geraden Kreiskegel mit dem Grundkreisradius r und der Höhe h soll ein Zylinder mit möglichst großem Volumen einbeschrieben werden.

2.) Welcher offene Zylinder hat bei gegebener Oberfläche ein möglichst großes Volumen?
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K.
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Veröffentlicht am Freitag, den 14. Dezember, 2001 - 08:55:   Beitrag drucken

Hallo Ginny

1) Sei rz der Radius und hz die Höhe des Zylinders.
Am besten machst du dir nun eine Skizze vom Querschnitt. Also ein gleichschenkliges Dreieck mit einem Rechteck, dessen eine Seite auf der Grundseite des Dreiecks liegt.
Die Grundseite des Dreiecks entspricht dem Durchmesser (2r) des Kegels; die Höhe auf der Grundseite ist die Höhe des Kegels.
Mit dem Strahlensatz gilt dann
h/r=(h-hz)/rz
<=> hrz=r(h-hz)
<=> rz=(r/h)*(h-hz)=r-rhz/h

Für das Volumen eines Zylinders gilt allgemein
V=G*h
V=pi*rz²*hz
V(hz)=pi*[r-rhz/h]*hz=pi*[rhz-rhz²/h]
V'(hz)=pi*[r-2rhz/h]=0
<=> r-2rhz/h=0 |*h
<=> rh-2rhz=0
<=> 2rhz=rh |:r
<=> 2hz=h
<=> hz=h/2

Mit 2. Ableitung auf Max und Min prüfen (machst du bitte selber)
=> rz=r-rhz/h=r-r*(h/2)/h=r-r/2=r/2

2.) Oberfläche offener Zylinder
O=pi*r²+2pi*r*h
<=> O-pi*r²=2*pi*r*h
<=> h=(O-pi*r²)/(2*pi*r)

V=pi*r²*h
=> V(r)=pi*r²*(O-pi*r²)/(2*pi*r)
<=> V(r)=r/2*(0-pi*r²)
=> V'(r)=1/2*(O-pi*r²)+r/2*(-2*pi*r)
<=> V'(r)=1/2*(O-pi*r²)-pi*r²=0
<=> 1/2*(O-pi*r²)-pi*r²=0 |*2
<=> O-pi*r²-2*pi*r²=0
<=> O-2*pi*r²=0
<=> 2*pi*r²=O
<=>r²=O/(2*pi)
=> r=Ö(O/(2*pi))

Noch mit 2. Ableitung auf Min und Max überprüfen und r in den Ausdruck für h einsetzen.

Bitte alles nachrechen.

Mfg K.

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