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Gleichungen n-ten Grades nochmal

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klasse 11 » Gleichungen/Ungleichungen » Sonstiges » Gleichungen n-ten Grades nochmal « Zurück Vor »

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Tommie
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Veröffentlicht am Dienstag, den 07. März, 2000 - 16:32:   Beitrag drucken

ist ja schön und gut mit numerischer Lösung
aber ich vermute, mein Lehrer haut mir das Heft um die Ohren, wenn ich das mache.

Vielleicht hab ich mich ja auch falsch ausgedrückt:

es geht nur um ganzrationale Gleichungen:

Beispiel :

ich habe die Gleichung :
f(x)=1/48x^4 - 1/2 x^2 + 5/3
soweit, so gut.
Um jetzt zb die Nullstellen zu bestimmen, muss
ich f(x) nach Null auflösen.
Daran scheitere ich regelmässig.
So in der Art sind die meisten Aufgaben.
Herauskommen müsste für die Nullstellen
(N1:-4,47 ; N2: -2 ; N3:2 ; N4: 4,47)
Also wie ist der Rechenweg ?

Bitte antwortet schnell, denn Donnerstag ist die nächste Klausur fällig .

Danke für die Bemühungen und schöne Grüsse

Tommie
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Franz
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Veröffentlicht am Dienstag, den 07. März, 2000 - 23:11:   Beitrag drucken

Bei ganzrationalen Gleichungen höheren Grades kann man folgende "Tricks" probieren: a) Ausklammern von Termen (insbesondere, wenn das absolute Glied 0 ist: x ausklammern) und diese Faktoren einzeln Null setzen. b) Erraten/Probieren von Lösungen (um Null rum: -2, -1, 0, 1, 2). c) Wenn nur Glieder vom Grad 2*n (oder 3*n usw.) auftreten: Substitution z=x² (oder z=x³ usw.).

Konkret z=x²; 1/48 *z²-1/2 *z + 5/3=0 Quadratische Gleichung in z, Lösen, Rücksubstituieren (z->x) und Probe (ob durch das Verfahren nicht Scheinlösungen hinzukamen).
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Zaph
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. März, 2000 - 11:43:   Beitrag drucken

Wenn die Gleichung nur ganzzahlige Koeffizienten besitzt und der Koeffizient bei der höchsten x-Potenz eins ist, kommen als rationale Nullstellen nur ganze Zahlen in Frage, die Teiler des konstanten Terms sind.

Hier:
1/48x^4 - 1/2 x^2 + 5/3 = 0 genau dann wenn x^4 - 24 x^2 + 80 = 0
Mögliche rationale Lösungen:
1,-1,2,-2,4,-4,5,-5,8,-8,10,-10,16,-16,20,-20,40,-40,80,-80.

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