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Oeko
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. März, 2000 - 13:29: | 
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wie laesst sich folgende Gleichung erklaeren:
sin(a) sin(b) = 1/2[cos(a-b) - cos(a+b)]
? |
Franz
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. März, 2000 - 14:18: |
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Formell durch die Additionstheoreme, cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y); unter Beachtung von sin(-z)=-sin(z) und cos(-z)=cos(z) rechts einsetzen.
Geometrische Deutung..? |
Heino Stern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. März, 2000 - 11:06: |
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Hallo Oeko, Franz hat Deine Formel bewiesen, Du willst sie auch erklaert haben. Vielleicht hilft das weiter:
Deine Formel wurde früher (vor der Erfindung der Logarithmen) verwendet, um große Zahlen oder Zahlen mit vielen Nachkommastellen miteinander zu multiplizieren, ohne viel rechnen zu müssen. Gebraucht wird dazu lediglich eine genaue Tabelle der Sinus- und Cosinuswerte. An einem Beispiel gezeigt geht das so:
0,123456789 * 0,987654321 ist gesucht.
1) setze sin a = 0,123456789 und
sin b = 0,987654321
2) Schau in der Tabelle die Winkel für a und b nach (kontrollier das mal mit einem Taschenrechner, Taste "sin hoch minus 1" oder wie auch immer, gemeint ist der arcsin). Resultat:
a = 7,0916460195 Grad und
b = 80,987548505 Grad
3) Der Rest ist einfach, wenn Du die rechte Seite Deiner Formel anschaust: 1/2{cos(a-b) - cos(a+b)}
Du berechnest die Winkel a-b und a+b, nimmst von beiden den Cosinus, subtrahierst und teilst zuletzt durch 2.
4) Damit hast Du die rechte Seite Deiner Gleichung ausgerechnet und das ist ja eben dasselbe wie sin(a)*sin(b). Wenn Du das am Taschenrechner nachvollziehst, wird die Genauigkeit bei "10 hoch minus 12" liegen.
Das ist der eigentliche "Nährwert" Deiner Formel - früher in der Praxis (z.B. Astronomie) DAS klassische Verfahren zur Multiplikation.
Der Beweis (etwa der von Franz) braucht den Additionssatz vom Sinus /Cosinus,
cos(x+y) = cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y) bzw.
sin(x+y) = ..... (ähnlich kompliziert) .....
KEIN MENSCH WIRD FREIWILLIG DIE LINKE SEITE IN EINEN SOLCHEN KOMPLIZIERTEN AUSDRUCK AUF DER RECHTEN SEITE UMFORMEN. Aber mit dem praktischen Nutzeffekt der Multiplikation lohnt sich das Ganze.
Was beachtet werden muß: die Zahlen müssen kleiner als 1 sein (Kommaverschiebung, wenn nötig).
Literatur: Das Ganze habe ich aus einem (nur noch antiquarisch zu beziehenden) Buch von BRAUNMUEHL, der Titel heißt - glaube ich - VORLESUNGEN UEBER DIE GESCHICHTE DER TRIGONOMETRIE.
PS.: der Kehrwert 1/a einer Zahl a läßt sich ebenso bestimmen. Etwa a = 0,12345:
- Setze 0,12345 = tan(x) und bestimme mit arctan den Winkel x
- Berechne dann 90 Grad - x
- es ist tan(x) = cot(90-x) = 1 / tan(90-x), also ist das gesuchte 1/a = 1/tan(x) = tan(90-x)
Mit Deiner Formel und dem "Tangens-Trick" kann man jetzt beliebige Zahlen dividieren:
X/Y = X*(1/Y)
Ich hoffe, das hilft weiter. Viel Erfolg, Heino Stern |
Franz
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. März, 2000 - 12:51: |
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Wann etwa war das und woher hatte man damals die genauen Werte der Winkelfunktionen? |
Heino Stern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. März, 2000 - 11:04: |
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Hallo Franz, das ist eine lange Geschichte. Der erste, von dem die Berechnung von Sinustafeln überliefert ist (also nachgewiesen), ist HIPPARCH, ca. 250 v. Chr. (er wird zugleich der "Vater der Astronomie" und auch "Vater der Trigonometrie" genannt. Er baute eine Sinustafel in Winkelschritten von 7,5 Grad, Genauigkeit der Stellenzahl habe ich nicht im Kopf. Er brauchte neben Startwerten (sin 45 Grad z.B.) zwei Formeln:
1) aus bekanntem sin A den Wert von sin (A/2)
2) aus sin A den Wert sin(90 - A)
Damit errechnete er sin 7,5; sin 15; sin 22,5 etc.
Nach ihm war der nächste PTOLEMAEUS (der mit dem falschen Weltbild von der Erde im Mittelpunkt des Alls). Er benutzte dieselben Formeln wie Hipparch und zudem eine weitere Formel, die modern formuliert exakt der Additionssatz des Sinus ist (sin(A+B) = ........). Damit gelang ihm eine Tafel mit Winkelschritten von 0,5 Grad (!!!) und einer Genauigkeit auf mindestens fuenf Stellen (!!!).
Allerdings formulierten sie anders als wir heute: sie berechneten Sehnen im Kreis. Ist s(A) eine Sehne mit Mittelpunktswinkel A, so hängt das so mit dem Sinus zusammen:
s(A) = 2*sin(A/2)
Die Sehne wird, vom Kreismittelpunkt aus betrachtet, zur doppelt so grossen Gegenkathete.
Weiter wird das Ganze noch dadurch verkompliziert, daß sie ganz in babylonischer Tradition mit der Basiszahl 60 rechneten (der Radius war immer 60 "Teile" lang, nicht 1 wie heute.
Aber ansonsten ist die Tafel von Ptolemaeus ausserordentlich gut, die Basis für die nachfolgenden Araber, die im Mittelalter ihr Wissen nach Suedeuropa (Spanien, Sizilien ...) brachten, wo dann (u.a. unter Friedrich II.) die Werke ins Lateinische uebersetzt wurden. Ab ca. 1200 wurde das Wissen dann in Europa salonfaehig.
In Deutschland war es Regiomontan (eigentlich Johannes Mueller), der die Trigonometrioe neu begruendete und Formeln bewies.
IMMER und VON ANFANG AN war die Hauptanwendung die Astronomie, also mathematisch formuliert die "sphaerische Trigonometrie", kurz die Geometrie auf der Kugel. Trigonometrie war immer das Handwerkszeug der Astronomen.
Hauptanliegen war der sog. Seitencosinussatz zur Berechnung von Entfernungen auf der Kugel (etwa die kuerzeste Verbindung von Hamburg nach San Franzisko).
Dass Trig. auch in der Ebene benutzt wird, so wie es heute in der Schule gelernt wird, begann erst im 17. Jhd.
Genauere Daten muesste ich nachschlagen, auch wann die Begriffe "Trigonometrie", "Sinus" entstanden sind ("Sinus" ist eine falsche Uebersetzung eines arabischen Wortes ins Lateinische).
Wenn Dich das noch weiter interessiert, melde Dich. Ich brauch dann ein wenig mehr Zeit.
Gruesse, Heino Stern |
Franz
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. März, 2000 - 11:14: |
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Danke; hochinteressant! Hast Du vielleicht noch einen Tip dazu bezüglich greifbarer Literatur? |
H.Stern
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. März, 2000 - 08:41: |
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Hallo Franz,
ja, habe ich, dauert aber bis Mittwoch oder Donnerstag. Leider gibt es nicht EIN umfassendes Buch (das von Braunmuehl ist heute noch der Klassiker).
Auch Interesse am Eingemachten, naemlich der Mathematik, die dahinter steckt?
Gruesse, heino Stern |
Franz
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. März, 2000 - 11:24: |
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Historische Mathematik? Nur punktuell. Ansonsten zur Unterhaltung. :-) |
Heino Stern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. März, 2000 - 11:15: |
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Hallo Franz, so ganz genau weiß ich nicht, was Dich interessiert. Vielleicht hilft das weiter:
Braunmühl, A. v.: Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie. Vaduz / Liechtenstein (Sändig Reprint Verlag), 1995
(wie gesagt ein Reprint, im Buchhandel erhältlich. Das Standardwerk über Trig., auch die Tafeln. Das Beste was ich kenne, aber teuer)
Gericke, H.: Mathematik in Antike und Orient (Bd. 1) / Mathematik im Abendland (Bd. 2). Wiesbaden (Fourier-Verlag), 1996
(gute Fundgrube, viele Lit.hinweise. Trig. / Astronomie sind nur ein Teil davon)
Kern, H. und Rung, J.: Sphärische Trigonometrie. München (Bayerischer Schulbuch Verlag), 1991
(kurzes, knackiges Schulbuch mit Beweisen und Aufgaben. Wie alle Mathe-Schulbücher unhistorisch, alles fällt vom Himmel. Schöne Beiträge aus Geodäsie / Astronomie. Lösungsheft wird auch geliefert)
Schmidt, W. F.: Astronomische Navigation. Berlin, Heidelberg u.a. (Springer), 1996
(Bringt praxisnah, ohne vor der Vertiefung zu kneifen, klassische Verfahren und astronomische Anwendungen, vor allem Standortbestimmungen auf See. Bringt viel, wenn man sich in sphär. Trig. auskennt (z.B. Kern). Lohnt sich sehr)
Sobel, D.: Längengrad. Berlin (Berlin Verlag), 1996
(Mittlerweile als Taschenbuch oder als teure, aber informative bebilderte Ausgabe. Problem der Längengradbestimmung auf See als Ausgangspunkt. Erzählt wird die Erfindung des Schiffschronometers (=Längengradmesser) durch Harrison. Ein wirklich spannend geschriebenes Buch, viel Hintergrundinformation über konkurrierende Verfahren (Jupitermonde). Für mich eins der 10 Bücher für die Insel ...)
Teichmann, J.: Wandel des Weltbildes. Deutsches Museum München. Stuttgart, Leipzig (Teubner), 1996
(Sehr informatives Buch über Sonnensystem, Erddrehung etc., mit Einbettung in kulturgeschichtlichen Zusammenhang. Viel spannende Hintergrundinformation)
Wenn Du ähnliche Tips hast, schreibs bitte.
Speziell zur Herstellung von Sinus-Tabellen: nichts gefunden. Wenns Dich interessiert, kann ich Dir aufschreiben, wie es geht. Grüße, Heino Stern |
gizem (Gizmo)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Januar, 2001 - 08:17: |
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Ich habe eine Fachbereichsarbeit über "Vermessungswesen".Ich habe aber nicht so viele Quellen finden können.Der Lehrer sagte zu mir,dass ich dieses Thema unter Anwendungen von Trigonometrie finden konnte.Ich brauche Ihre Hilfe!!! |
Juno
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Januar, 2001 - 08:47: |
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Hallo gizem,
Bei neuer Frage bitter immer neuen Beitrag öffnen! |
ja genau
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Januar, 2001 - 23:26: |
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Frage steht auch schon hier:
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/25/9187.html |
metin (Brad)
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Januar, 2001 - 13:14: |
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kannst du mir sagen, was das ist????
sin(a) sin(b) = 1/2[cos(a-b) - cos(a+b)]
Ist das eine UMkehrfunktion????? brauche die Antwort heute noch , bitte!!!
Ich muss eine Facharbeit über Trigonometrische Funktionen schreiben und muss auch dabei das Arc einbeziehen. Ich brauche dringend ein Beweis für die Umkehrfunktion (Arc). Wenn mir jemand helfen kann,bin ich ihm sehr dankbar. |
Bobo
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Januar, 2001 - 15:33: |
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Hi metin,
Das mit dem neuen Beitrag gilt auch für Dich. |
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| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Januar, 2001 - 15:58: |
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Hi metin,
Das ist eine Gleichung.
Öffne doch das nächste mal einen neuen Beitrag! |
metin (Brad)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Januar, 2001 - 11:22: |
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Hab in den Beiträgen geguckt , habe nichts darüber gefunden. Kann mir jemand sagen wie ich das hier beweisen kann????
Die Kosinusfunktion ist im Intervall(o;3,4(p)) umkehrbar. Bezeichnet man die zugehörige Umkehrfunktion mit arc cos, so gilt für -1<x<1: arc cos x= -1/ wurzel(1-xquatrat. Ich muss das Beweisen , kann mir jemand vielleicht hlefen, bitte???? |
Kornelia
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Januar, 2001 - 20:13: |
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Hallo,
Wer weiß Rat?
In einem Buch habe ich die Funktion sec x gesehen.
Was ist das? |
ari
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Januar, 2001 - 11:04: |
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Hi Kornelia,
secans x = Kehrwert von cosinus x,
also secans x = Hypothenuse / Ankathete = 1 / cos x
Entsprechenmd ist cosecans x = Hypothenuse / Gegenkathete = 1 / sin x
Ciao |
metin (Brad)
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Februar, 2001 - 17:42: |
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Ich habe jetzt was anderes, kann mir jemand jetzt vielleicht helfen????
Die Kosinusfunktion ist im Intervall ( O ;3,4(P) )umkehrbar. Bezeichnet man die zugehörige Umkehrfunktion mit arc cos, so gilt für -1<x<1: arc cos x: -1/ wurzel(1-xquadrat).
Das ist die Aufgaben stellung , brauche dringend , die Beweisvorführung. Kann mir vielleicht jemand jetzt helfen, bitte
Heino kannst du mir vielleicht helfen??????? |
Kornelia
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Februar, 2001 - 18:13: |
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Hallo ari,
Vielen Dank |
ari
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Februar, 2001 - 11:38: |
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Hi metin,
Deine Funktion vom 5. Februar ist NICHT der arccos=Umkehrfunktion von cos, sondern die 1. ABLEITUNG des arccos:
d arccos(x) / dx = arccos ' (x) = Deine Formel
Kannst Du genauer sagen, was Du brauchst? Ich kenne für den arccos selber -ähnlich wie für den cos- nur eine REIHENENTWICKLUNG, also eine Annäherung durch wiederholte Addition bzw. Subtraktion.
Ciao |
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