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Beitrag |
    
tim
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Dezember, 2001 - 13:25: | 
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Hi!
Meine Aufgabe:
Zenon und die Schildkröte:
Der griech. Philosoph Zenon (450 v. Chr.) behauptete, Achilles könne eine Schildkröte nicht einholen.
Seine Argumentation: Angenommen Achilles laufe 10-mal so schnellwie die Schildkröte und diese habe einen Vorsprung von einer Stadion(185m). Wenn Achilles diese Strecke zurückgelegt habe, sei die Schildkröte erneut 1/10 dieser Streckenlänge weitergekrochen usw. Die Schildkröte habe also immer einen Vorsprung!
a) Zeige, dass die Längen der jeweiligen Vorsprünge der Schildkröte eine geometrische
Folge bilden
b) Zeige, dass der Summenwert der zugehörigen geometrischen Reihe gleich der Länge des Weges ist, den die Schildkröte bis zum Einholen zurückgelegt hat
c) Wie ist jetzt die Argumentation von Zenon zu beurteilen
Bitte, bitte hilft mir, davon hängt meine Note ab.
gruß tim-danke |
ari
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Dezember, 2001 - 14:31: |
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Hi Tim,
geometrische FOLGE: Startwert a0. a1=a0*q, a2=a0*q^2, a3=a0*q^3, a4=a0*q^4, ..., an=a0*q^n, ...
Also: ein Folgenglied ist das Produkt des (festen) Startwertes a0 mit einer Potenz von einem (ebenfalls festen) q. Der Exponent n wächst immer um 1.
Geometrische REIHE: die SUMME dieser Folgenglieder an.
s1 = a0
s2 = a0 + a1 = a0 + a0*q
s3 = (a0 + a1) + a2 = s2 + a0*q^2 = a0 + a0*q + a0*q^2
s4 = a0 + a1 + a2 + a3 + a4 = s3 + a0*q^3 = a0 + a1*q + a0*q^2 + a0*q^3
Zenon (der natürlich wußte, daß Achilles die Schildkröte einholt) hat so argumentiert:
Jedes Glied der FOLGE an=a0*q^n ist immer größer Null (das hat er recht). Aber die SUMME gibt eine "richtige", berechenbare Zahl. Um die geht es:
Startwert a0 = Anfangsabstand = 185 m. Bleibt noch das q.
Beide laufen gleichzeitig los. Da Achilles 10 mal schneller ist, so ist die Schildkröte 1/10 des Anfangsabstands weiter, wenn Achilles am Startpunkt der Schildkröte ankommt. Das ist a1=a0*1/10.
Wenn Achilles an diesem neuen Punkt a1 ankommt, ist die Schildkröte 1/10 des letzten Abstandes "a1=a0*1/10" weiter. Das liefert a2=(a0*1/10)*1/10 = a0*(1/10)^2.
Allgemein: an = a0*(1/10)^n, wobei a0=185 m ist).
Also: der feste Wert q = 1/10.
(Wenn Achilles nur doppelt so schnell wäre, wäre q=1/2. Wäre er 3 mal so schnell, so wäre q=1/3).
Das ist Teil a) der Aufgabe.
Tatsächlich bleibt jedes Folgenglied größer als Null.
Auflösung des Widerspruchs: betrachte den Weg, den Achilles zurücklegt: a0, dann a1, danach a2 ..., also die SUMME sn=a0 + a1 + a2 + ... + an.
Es ist (das kennst Du vermutlich)
sn = a0 * (1 - q^n) / (1 - q). Mit q=1/10 wird daraus
sn = a0 * (1 - [1/10]^n) / (1 - 1/10).
Der Nenner ist 1 - 1/10 = 10/10 - 1/10 = 9/10.
sn = a0*10/9*(1 - [1/10]^n).
Läßt Du n beliebig groß werden (gegen unendlich), wird [1/10]^n immer kleiner (gegen Null).
Im Grenzfall ist die Gesamtsumme S = lim sn = a0*10/9 = a0*9/9 + a0*1/9 = a0 + a0/9 = Anfangsabstand plus 1/9 dieses Abstands. Da holt Achilles die Schildkröte ein.
Diese a0*10/9 ist der Weg, den Achilles bis zum Einholen zurücklegt. Die Schildkröte hatte den Vorsprung a0, sie ist also nur a0*10/9 - a0 = a0/9 weitergekommen, bis sie überholt wird.
Das ist Teil b)
Teil c: Zenon argumentiert mit den FOLGENgliedern. Aber die Länge des zurückgelegten Weges ist eine REIHE (also die SUMME der Folgenglieder), und die hat einen berechenbaren Wert: a0/9 = 185/9 m für die Schildkröte.
Wäre Achilles nur doppelt so schnell, so wird
sn = a0 * (1 - [1/2]^n) / (1 - 1/2) = a0*2*(1 - [1/2]^n), was gegen S = 2*a0 konvergiert.
Ich hoffe, das war verständlich.
Ciao. |
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