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Anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. März, 2000 - 12:31: | 
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Hallo, ich wüsste gerne, wie man den Graphen aller Wendepunkte berechnet.
Zum Beispiel:Wendepunkt der Aufgabe
e hoch x
---------
1+ ae hoch x
ist x= ln 1/a . |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. März, 2000 - 14:53: |
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Hi Anonymus,
Bei Deiner Frage geht es im wesentlichen darum, für eine einparametrige Kurvenschar mit dem Parameter a die Ortskurve der Wendepunkte zu ermitteln.
Zu diesem Zweck bestimmt man - wie üblich- die Koordinaten des Wendepunktes (zweimal nach x ableiten und die Nullstellen der zweiten Ableitung ermitteln).
Man erhält die Koordinaten der Wendepunkte je als Funktion von a : x = x(a) , y = y(a).
Durch Elimination des Parameters a aus den beiden Beziehungen - sofern möglich -
erhält man die Funktionsgleichung der gesuchten Ortskurve.
Ich führe das an zwei Beispielen durch:
1) Gegeben wird die Schar von Polynomen dritten Grades y = a x^3 +3 x^2 +x.
Man ermittle die Kurve, auf welcher alle Wendepunkte der Schar liegen
Lösung: die zweite Ableitung y'' = 6ax + 6 hat die Nullstelle x = -1 / a (x-Wert des WP).
Durch Einsetzen in die gegebene Funktionsgleichung erhalten wir den y-Wert des WP,
nämlich y = 2/a^2 - 1/a ; eliminieren wir aus diesen Gleichungen a , so erhalten wir die
quadratische Funktion y = 2x^2 + x als Ortskurve. (Man erhält diese auch sofort,
wenn a = -1 / x in die gegebene Gleichung dritten Grades eingesetzt wird)
2) Für Dein Beispiel geht die Rechnung so:
y = e^x / (1+ae^x). leiten wir mit der Quotientenregel ab ; für die erste Ableitung
erhalten wir nach Vereinfachung: y ' = e^x / (1+ae^x)^2 und für die zweite analog:
y'' = e^x* (1 - a e^x)/( 1+a e^x) ^3 (gehörig vereinfachen und -wenn erlaubt- ein
Computeralgebrasystem einsetzen!)
Nullstelle von y'' : x = ln (1/a) wie Du bereits angegeben hast. Daraus folgt für den
y-Wert des WP: y = 1 / (2a). Der Parameter lässt sich leicht eliminieren ; es kommt
y = ½* e^x als Ortskurve.
So weit - so gut ?
Mit freundlichen Grüßen H.R. |
Anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. März, 2000 - 16:37: |
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Danke! Könntest du mir bitte noch die Zeischenschritte für den y-Wert angeben, da ergibt sich ja ein Doppelbruch und mit dem komme ich nicht so ganz klar!? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. März, 2000 - 20:01: |
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Hi Anonymus,
Wir lassen den Schluss des Filmes in Zeitlupentempo nochmals ablaufen:
Wir hatten die Gleichung der Kurvenschar mit a als Scharparameter:
y = e ^ x / ( 1 + a* e ^ x ). ( Formel I )
Für den x-Wert des Wendepunktes erhielten wir zunächst
e ^ x = 1 / a , ( Formel II )
damit ist gleichbedeutend
x = ln (1/ a ) ( Formel III )
und a* e ^ x = 1 ( Formel IV )
Nun setzen wir die rechte Seite aus Formel (II) im Zähler und den Term aus Formel (IV) im Nenner der Formel (I) ein und erhalten
y = (1/a) / (1 + 1 ) , in der Tat ein Doppelbruch, aber ein recht harmloser.
Wir müssen 1 / a durch 2 dividieren ; Ergebnis: y = 1 / (2a)= ½*1/a.
Ersetzt man nach Formel (II) 1/a wieder durch e^x , so erhält man die Gleichung der gesuchten Ortskurve : y = ½ * e ^ x
Für die Umwandlung von Doppelbrüchen in einfache gilt i.a. das folgende Verfahren :
Man erweitert den Doppelbruch mit dem kgV. aller Nebennenner , wie am folgenden
Beispiel gezeigt wird.
Q= ( 1 / (2a) + 1/ (3b) ) / (1 / (ab) ) erweitert mit 6ab gibt
Q = ( 3b + 2a ) / 6
Mit freundlichen Grüssen
H.R. |
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