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Gerald Kurzweil (Gerald2)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Dezember, 2001 - 16:18: | 
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Man soll den Schnittwinkel zwischen
x^2+9y^2=225
(x-8)^2+y^2=25 berechnen aber wie? |
Allmut
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Dezember, 2001 - 22:03: |
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Lieber Gerald,
Schnittwinkel oder Schnittpunkt? Beim Schnittpunkt würde ich die Gleichungen gleichsetzen.
x²+9y²=225 >> y²=225/9-x²
(x-8)²+y²=25 >> x²-16x+64+y²=25
>> y²=-x²+16x-39
y=Ö(25-x²/9)
y=Ö(-x²+16x-39)
Und jetzt gleichesetzen.
Und so weiter, oder?
Beim Schnittwinkel muß man die Steigungen berücksichtigen.
Gruß A. |
K.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Dezember, 2001 - 09:59: |
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Hallo Gerald
der Schnittwinkel zweier Kurven ist der Winkel, den die Tangenten der Kurven im Schnittpunkt miteinander bilden.
Also zuerst die Schnittpunkte bestimmen, dann die Steigung der Tangenten im Schnittpunkt.
Schnittpunkte:
beide Gleichungen am besten nach y² auflösen und gleich setzen
y²=(225-x²)/9 und y²=25-(x-8)²
=> (225-x²)/9=25-(x-8)² |*9
<=> 225-x²=225-9(x-8)² |-225
<=> -x²=-9(x²-16x+64)
<=> x²=9x²-144x+576
<=> 8x²-144x+576=0 |:8
<=> x²-18x+72=0
=> x1,2=9±Ö(81-72)
=> x1=9+3=12 und x2=9-3=6
Durch Einsetzen in y²=25-(x-8)² die zugehörigen y-Werte berechnen:
y²=25-(12-8)²=25-4²=25-16=9 =>y1=3 und y2=-3
y²=25-(6-8)²=25-2²=21 => y3=Ö21 und y4=-Ö21
Schnittpunkte sind somit
S1(12/3); S2(12/-3); S3(6/Ö21) und S4(6/-Ö21)
Nun in jedem dieser Schnittpunkte die Steigungen mit Hilfe der 1.Ableitung im Schnittpunkt bestimmen:
K1: y²=(225-x²)/9
=> y=Ö[(225-x²)/9]
=> y'=f'(x)=-2/9*x/(2*Ö((225-x²)/9)
=-x/(9*Ö((225-x²)/9))
=> f'(12)=-12/(9*Ö((225-144)/9))=-12/(9*3)=-4/9
Die Tangente an K1 hat in S1 die Steigung m1=-4/9
K2: y²=25-(x-8)²
=> y=f(x)=Ö(25-(x-8)²)
=> f'(x)=(-2(x-8))/(2*Ö(25-(x-8)²))
=> f'(12)=(-2(12-8))/(2*Ö(25-(12-8)²))
=(-2/4)/(2*Ö(25-4²))
=(-1/2)/(2*3)=(-1/2)/6=-1/12
Die Tangente an K2 in S1 hat damit die Steigung m2=-1/12
Für den Schnittwinkel in S1 gilt nun
tanf=(m2-m1)/(1+m1*m2)
=(-1/12+4/9)/(1-1/12*4/9)
=((-3+16)/36)/(1-1/27)
=(13/36)/(26/27)
=(13*27)/(36*26)=3/8
=> f=arctan(3/8)=22,84°
Die anderen 3 Winkel kannst du jetzt sicher selber.
Mfg K. |
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