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Geometrie

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Rebecca (Fly)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Dezember, 2001 - 08:30:   Beitrag drucken

Hallo Leute! Ich hab gerade ein paar Probleme in der Geometrie und brauche Eure Hilfe!

1.)Alle vier Begrenzungsflächen einer dreiseitigen Pyramide seien von gleichseitigen Dreiecken mit der Seitenlänge a umsschlossen.
a) Berechnen Sie die Höhe der Pyramide? (In der Grundseite sind zwei Höhen eingezeichnet und die Höhe der Pyramide beginnt im Schnittpunkt der 2 Höhen der Grundseite)
Jetzt steht in der Lösung AD= Wurzel aus (a²-a²/4) =a/2*Wurzel 3 folgt AM = 2/3* AD =a/Wurzel 3
Dann gilt: h= Wurzel aus (a²-AM²) = Wurzel aus 2/3 * a Hinweis: Der Punkt D ist der Punkt wo, die eine Höhe der Grundseite mit dem Rechten Winkel anfängt und M ist der Punkt in der Grundseite, wod ie Höhe der Pyramide anfängt).

Nun mein Problem: Wie kommt man darauf, dass AD = Wurzel aus (a²-a²/4)???

Die Aufgabe c zu dieser Aufgabe lautet:ermitteln Sie den Rauminhalt V :
Ich weiß,dass man V in einer Pyramide mit der Formel V= 1/3*G*h berechnet.
Also: V= 1/3 * (a²/4*Wurzel 3) *Wurzel aus (2/3*a)
Wie kommt man dann aber auf das Ergebnis 1/12 *a³* Wurzel 2 Ich mein wie kommt man auf die Wurzel 2 ????


Ich hoffe, ich konnte diese Aufgabe ein wenig bildlich darstellen, so dass ihr mir es erkklären könnt.
ICh danke Euch schonmal ganz lieb im Voraus!
Fly
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K.
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Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Dezember, 2001 - 11:05:   Beitrag drucken

Hallo Fly

wie du sagst sind die Dreiecke alle gleichseitig; also auch das Dreieck der Grundfläche.
Im gleichseitigen Dreieck gilt:
Höhen, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende fallen aufeinander;
also ha=sa=wa
Die Strecke AD ist die Verbindungsstrecke von A mit dem Mittelpunkt der Seite BC, da AD gleichzeitig Höhe und Seitenhalbierende von BC ist.
Somit ist das Dreieck ABD rechtwinklig (rechter Winkel bei D) und es gilt der Satz des Pythagoras:
AD²+BD²=AB² oder (da alle Seiten im Dreieck die Länge a haben)
AD²+(a/2)²=a² <=> AD²=a²-(a/2)²=a²-(a²/4)
=> AD=Ö(a²-(a²/4))
Dies kannst du noch weiter umformen zu:
AD=Ö(4a²-a²)/4)=Ö(3a²/4)=(a/2)Ö3

V= 1/3 G*h
mit AD=a/2*Ö3 folgt G=a*AD/2=a²/4*Ö3
=> V=1/3*(a²/4)Ö3*h
Für h gilt h=aÖ2/3 (da hast du glaub ich einen Fehler)
=> V=1/3*(a²/4)Ö3*aÖ2/3
=1/3*(a³/4)*Ö(3*2/3)
=1/3*(a³/4)Ö2
=1/12*a³Ö3

Mfg K.

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