| Autor |
Beitrag |
    
anonymus
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. März, 2000 - 14:17: | 
|
Ich muß zu Dienstang eine komplette Funktionsuntersuchung durchführen und hab' keinen Plan wie das funktionieren soll.
Bitte dringend um Antwort.
Funktion: -e^2x + 2e^x
Außerdem soll ich noch die Wendetangente und die Fläche zwischen Graph und x-Achse im Intervall [-1;2] bestimmen. |
haffi
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. März, 2000 - 23:53: |
|
Hallo!
1) Definitionsbereich: ganz R
2)Nullstellen: -e^2x+2e^x=0
=>e^2x=2e^x => 2x=ln2+x =>x=ln2=ungefähr 0,7
3)Verhalten für betragsgroße x:
f(x)=e^x(-e^x+2).
x gegen +unendlich:e^x geht gegen +u.e., der Term in der Klammer gegen -u.e., die ganze Funktion also gegen -u.e.
x gegen -u.e.: e^x geht gegen 0, der Term in der
Klammer gegen 2, f(x) also gegen 0.
4) Ableitungen:
f´(x)=-2e^2x+2e^x
f´´(x)=-4e^2x+2e^x
f´´´(x)=-8e^2x+2e^x
5) Extrema:
notw. Bed: f´(x)=0
=> -2e^2x+2e^x=0 => 2e^2x=2e^x =>e^x=1 => x=ln1=0
hinr. Bed.:f´´(0)=-4+2=-2<0 => HP
f(0)=-1+2=1 => HP(0/1)
6) Wendepunkte:
notw. Bed.: f´´(x)=0
=> -4e^2x+2e^x=0 => 4e^2x=2e^x =>2e^x=1 => e^x=1/2
=> x=ln(1/2)=ungefähr -0,7
hinr. Bed.: f´´´(ln0,5)=-2+1=-1, ungleich 0
f(ln0,5)=0,75 => WP(-0,7/0,75).
7) Graph zeichnen mußt Du selbst. Vielleicht machst Du noch eine kleine Wertetabelle, um genauer zeichnen zu können.
Wendetangente: Das ist einfach die Tangente an den Wendepunkt.
Ansatz: y=mx+b (m=Steigung, b=y-Achsen-Abschnitt)
m=f´(ln0,5)=0,5 =>y=0,5x+b.
Jetzt x- und y-Wert vom Wendepunkt einsetzen:
0,75=0,5*ln0,5+b => b=ungefähr 1,1
Die Wendetangente lautet also y=0,5x+1,1.
Flächeninhalt:
A=ò-1 2 f(x)dx.
Bilde Stammfunktion von f(x):
F(x)=-0,5e^2x+2e^x.
=> A=|[-0,5e^2x+2e^x]2-1|
=|-0,5e^4+2e²-(-0,5e^-2+2e^-1)|=
|-27,299+14,778-(-0,068+0,736)| (wenn ich mich nicht vertippt hab)
=|-13,189|=13,189. |
|
