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little boy
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. März, 2000 - 14:11: | 
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folgendes problem:
gegeben sei eine schar von funktionen durch
ft(x)=1/12t X hoch 4- t/2 x hoch 2, t größer 0
untersuchen sie denm graphen Gt von ft auf symmetrie, schnittpunkte mit den achsen, extrema und wendepunkte.
berechnen sie den flächeninhalt des flächenstüchs, das Gt mit der x-achse einschließt.
jeder graph Gt hat zwei wendepunkte. stellen sie die scharengleichungen der wendetangenten auf. für welchen wert des parameters t stehen die wendetangenten von Gt senkrecht aufeinander?
wenn ihr mir helfen könnt-vielen dank
gruß little boy |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. März, 2000 - 13:36: |
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Hi little boy,
Zur Vorbereitung der Lösung ist es nützlich ,die erste und zweite Ableitung sowie das unbestimmte Integral der gegebenen Schar von Funktionen vierten Grades zu ermitteln ; wir erhalten durch eine einfache formale Rechnung der Reihe nach: ft ' (x) =1 / (3t ) * x^3 - t * x ( Gl 1 ) , ft ''(x) =1/ t *x ^2 -t ( Gl 2 ) ,
int ( ft (x) ) = x ^5 / ( 60 t ) - t / 6 * x ^3 ( Gl 3 ) .
Nun zu den einzelnen Fragen:
a) Der Graph ist zur y-Achse symmetrisch, da in der Funktionsgleichung ft(x) nur gerade Potenzen von x vorkommen.
b) Aus der Faktorzerlegung von ft (x) = x^2 * ( 1 / ( 12 t ) * x^2 -t / 2 ) ergeben sich die Nullstellen x1 = x2 = 0 (doppelte Nullstelle: der Graph berührt die x-Achse im Nullpunkt) ferner x3 = sqrt (6) * t , x4 = - sqrt(6) * t
Als little boy verstehst Du sicher "square root" : Quadratwurzel ! Diese Nullstellen sind die x-Werte der Schnittpunkte mit der x-Achse. Einziger Schnittpunkt mit der y-Achse ist der Nullpunkt.
c) Wir setzen ft ' (x) null und erhalten aus ( Gl1 ) die x-Werte möglicher Extremalstellen,
nämlich : xI = 0 , x II = t * sqrt (3) , x III = - t * sqrt (3) .
Mit Hilfe der zweiten Ableitung Gl (2) stellen wir fest : Bei xI liegt ein relatives Maximum vor, da ft '' hier negativ ist , bei x II und x III entstehen relative Minima , weil ft'' hier positiv ist. Durch Einetzen dieser x-Werte in die Funktionsgleichung bekommst du die y-Werte eines Hochpunktes (in O) und zweier zur y - Achse symmetrischer Tiefpunkte T1 und T2
Ergebnis: y-Werte der Tiefpunkte: - 3/4 * t^3 .
d) Um die Wendepunkte zu finden, setzen wir die zweite Ableitung null (Gl2) ; wir
erhalten die x-Werte für die beiden zur y-Achse symmetrischen Wendepunkte W1 und
W2 : xw1 = t , xw2 = - t ,die zugehörigen y - Werte sind gleich , nämlich 5 / 12 * t^3.
Fortsetzung demnächst
Inzwischen grüsst H.R. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. März, 2000 - 15:46: |
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Hi little boy,
Zur Fortsetzung Deiner Aufgabe die folgenden Punkte:
a) Wendetangenten. ; dazu benötigen wir die Steigungen der Wendetangenten.
Wir setzen bei Gleichung II die x-Werte xw1 = t und xw2 = - t der Wendepunkte
ein und erhalten als Steigungen m1 in W1 : m1 = 1 / (3t) * t^3 - t^2 = - 2 / 3 * t^2.
Die Steigung m2 der Wendetangente in W2 ist aus Symmetriegründen entgegen-
gesetzt gleich (rechne mit Gleichung II nach ; x = - t einsetzen) , also gilt
m2 = 2 /3 * t^2.
Die Gleichungen der Wendetangenten sind t1: y = m1*x + q und y = m2*x +q
Aus Symmetriegründen ergibt sich beidesmal derselbe Wert für q , nämlich
q = 13 / 12 * t^3 (Setze die Koordinaten von W in die Geradengleichung y = mx + q
ein und löse nach q auf.).
Als Gleichungen der Scharen der Wendetangenten erhalten wir somit:
y = - 2 / 3* t^2 * x + 13 / 12 t^3 und y = 2 / 3 * t^2 *x + 13 / 12 * t^3
oder ohne Brüche: 8 t^2 *x + 12 y = 13* t^3 und 8 t^2 * x - 12 y = - 13 * t^3
b) Senkrechte Wendetangenten .Das Produkt der Steigungen der Wendetangenten in W1 und W2 ist gleich minus 1.
Wir berechnen den zugehörigen t-Wert aus der Gleichung m1 * m2 = - 1 , d.h. aus
5 /12 * t^3 * 5 / 12 * t^3 = 1 ; Ergebnis : t = sqrt ( 3 / 2 )
c) Flächeninhalt A des von der Kurve und der x-Achse eingeschlossenen endlichen Gebietes.
Dieses Gebiet liegt ganz unterhalb der x-Achse und reicht von x = x4
bis x = x3 = sqrt(6) (siehe Punkt b))
Da dieses Gebiet bezüglich der y-Achse symmetrisch liegt , genügt es , A / 2 zu
berechnen , indem wir die untere Grenze x = 0 wählen, die obere ist x3.
Somit setzen wir in (GL3) diese Grenzen beim unbestimmten Integral ein und
erhalten A / 2 = 1 / (60*t) * (sqrt(6)*t)^5 - t/6 * (sqrt(6)*t)^3
= - 2 / 5 * sqrt ( 6 ) * t^ 4 ; also A = - 4 / 5 * sqrt ( 6 ) * t^4 ; das Integral liefert einen
negativen Wert, wie zu erwarten war.
Damit ist diese umfangreiche Aufgabe gelöst; hoffentlich kannst Du die einzelnen Schritte nachvollziehen Viel Erfolg und freundliche Grüsse
H.R. |
little boy
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. März, 2000 - 19:57: |
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little boy grüßt und dankt! |
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