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Marco T. (Jonny_Joe)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. November, 2001 - 18:48: | 
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1. Die Summe zweier Zahlen beträgt 14, die Summe ihrer Quadrate ist 100. Wie lauten die Zahlen?
2.Wird eine Musik-CD zu einem Preis p (in Euro) angeboten, so besteht eine Nachfrage von
x=30000-1000p* (Stück).(Hier wird angenommen, dass die Nachfrage sinkt, wenn der Preis steigt!)
Der sich daraus ergebende Umsatz U ist von der Anzahl der verkauften Stück und dem zugehörigen Preis abhängig: U=px. Bei welchen Preisen erzielt die Firma einen Umsatz von 216000,---Euro?
*Diese Nachfragefunktion wurde beliebig gewählt.
3.Die Seitenlänge einer rechteckigen Solarzelle mit der Fläche 216 dm² sollen im Verhältnis 2:3 stehen.
Wie groß ist der Umfang u der Solarzellen?
4.Die Punkte P1(0,3);P2(2,-1);P3(4,3) liegen auf dem graphen einer quadratischen Funktion:
a) Wie lautet die Gleichung dieser Funktion?
b) Wie groß ist der Funktionswert an der Stelle
x=-1
c) Man bestimme die Nullstellen der Funktion.
5.Jenes rechtwinklige Dreieck, dessen Katheten sich um 7 cm unterscheiden und dessen Hypothenuse um 9 cm länger ist als die kürzere Kathete, soll einem Deltoid mit der Diagonale e=10 cm flächengleich sein. Man berechne die zweite Diagonale des Deltoids. |
Justin
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Dezember, 2001 - 22:20: |
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Hallo Marco,
eine späte Lösung für die Aufgaben 1 bis 4:
1.)
x + y = 14
x² + y² = 100
y = 14-x
=> x² + (14-x)² = 100
=> x² + 196 - 28x + x² = 100
=> 2x² - 28x + 96 = 0
=> x² - 14x + 48 = 0
x = 7 +/- WURZEL(7²-48)
x1 = 7 + 1 = 8
x2 = 7 - 1 = 6
Aus x1 und x2 ergibt sich dann auch die Lösung der Aufgabe.
x=8 und y=6
=> 8+6=14
=> 64 + 36 = 100
2.)
x = 30.000 - 1.000p
U = x*p
Man setzt die Gleichung für x in die Gleichung für U ein:
U = (30.000 - 1.000p)*p
U = 30.000p - 1.000p²
Und als Umsatz sollen ja 216.000 Euro herauskommen.
216.000 = 30.000p - 1.000p²
Man stellt die Gleichung um und dividiert sie durch (-1000)
0 = p² - 30p + 216
p = 15 +/- WURZEL(15²-216)
p1 = 15 + WURZEL(9) = 18
p2 = 15 - WURZEL(9) = 12
Für p1 und p2 ergeben sich folgende Absatzzahlen
x1 = 30.000 - 1000*18 = 12.000
x2 = 30.000 - 1000*12 = 18.000
Daraus ergeben sich dann folgende Umsätze:
U1 = 12.000 * 18 = 216.000
U2 = 18.000 * 12 = 216.000
Der angepeilte Umsatz ergibt sich also bei einem Preis von 12 Euro oder von 18 Euro.
3.)
A = 216 dm²
A = a*b
Das Verhältnis der Seiten beträgt 2:3
=> a/b = 2/3
b = 3a/2
Einsetzen in die Gleichung für den Flächeninhalt:
A = a * 3a/2 = 216
3a²/2 = 216
3a² = 432
a² = 144
a = 12
b = 3a/2 = 3*12/2 = 18
Test:
A = 12 * 18 = 216 dm²
u = 2*(12+18) = 60 cm
Der Umfang beträgt also 60 cm
4.)
P1(0;3), P2(2;-1), P3(4;3)
a)
Die Gleichung für eine quadratische Gleichung lautet ja wie folgt:
f(x) = ax² + bx + c
Um nun a, b und c zu erhalten, setzt man die x- und y-Werte in die Gleichung ein:
(1) a*0² + b*0 + c = 3
(2) a*2² + b*2 + c = -1
(3) a*4² + b*4 + c = 3
Aus (1) kann man den Wert für c direkt ablesen: c = 3
Und nun kann man das System vereinfachen:
(2) 4a + 2b + 3 = -1
(3) 16a + 4b + 3 = 3
(2) 4a + 2b = -4
(3) 16a + 4b = 0
Man multipliziert (2) mit 2 und subtrahiert dann die untere Gleichung von der oberen
(2) 8a + 4b = -8
(3) 16a + 4b = 0
(2) -8a = -8
(3) 16a + 4b = 0
Aus (2) ergibt sich also, dass a=1 ist.
Aus (3) ergibt sich dann, dass b=-4 ist.
Und nun kann man die Funktion aufstellen:
f(x) = ax² + bx + c
f(x) = x² -4x + 3
f(0) = 0² -4*0 + 3 = 3
f(2) = 2² -4*2 + 3 = -1
f(4) = 4² -4*4 + 3 = 3
Stimmt also
b)
f(-1) = (-1)² -4*(-1) + 3 = 8
c) Nullstellen für f(x)
0 = x² -4x + 3
x = 2 +/- WURZEL(4-3)
x1 = 3
x2 = 1
Test:
3² -4*3 + 3 = 0
1² -4*1 + 3 = 0
Ciao
Justin |
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