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Beitrag |
    
Jennydeeny
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. November, 2001 - 07:38: | 
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hallo! Ich hoffe ihr könnt mir mit folgener Aufgabe helfen, ich komme nämlich echt nicht weiter: gegeben sei eine parabel f(x)=x^2-x. der Punkt P(2/1) liegt nicht auf dem Graphen von f. Es gibt zwei Tangenten an f, welche durch den Punkt P gehen. a) bestimme die tangentengleichungen! b) bestimme die Berührpunkte der Tangenten aus a) an den Graph von f. ich hoffe ihr könnt mir helfen!!! Danke schonmal, Jenny!!! |
K.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. November, 2001 - 09:40: |
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Hallo Jenny
f(x)=x²-x
Sei B(xo/yo) der Berührpunkt.
Dann gilt, da B auf der Parabel liegt
yo=xo²-xo und damit
B(xo/xo²-xo)
Die allgemeine Geradengleichung lautet
y=mx+b
P liegt auf der Gerade => 1=2m+b => b=1-2m
also
y=mx+1-2m
Die Gerade muss, da sie Tangente sein soll, in B die gleiche Steigung wie f haben.
f'(x)=2x-1
f'(xo)=2xo-1=m
Nun setzen wir in die Gleichung y=mx+1-2m die Koordinaten von B und m ein; also
yo=(2xo-1)xo+1-2(2xo-1)
da yo=xo²-xo folgt
xo²-xo=2xo²-xo+1-4xo+2
xo²-xo=2xo²-5xo+3 |-xo²+xo
xo²-4xo+3=0
=> xo=2±Ö(4-3
xo=2+1=3 oder xo=2-1=1
=> yo=3²-3=9-3=6 oder yo=1²-1=0
B1(3/6) und B2(1/0)
Mit y=mx+1-2m und m=2xo-1
folgt damit für
B1: m=2*3-1=5 => y=5x+1-10 => y=5x-9
B2: m=2*1-1=1 => y=x+1-2 => y=x-1
Mfg K. |
Jennydeeny
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. November, 2001 - 18:28: |
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vielen dank k. das hat mir mächtig weitergeholfen. nur noch eine frage, kannst du mir vielleicht den Schritt an dem du sagst, dass b die gleiche steigung wie f haben muss erklären? Wie kommst du auf f1(x)=2x-1 undf1(x0)=2x0-1=m??? Dankeschööööönnnn! jenny |
K.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. November, 2001 - 08:39: |
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Hallo Jenny
immer, wenn eine Gerade Tangente an eine Kurve ist, haben Gerade und Kurve im Berührpunkt die gleiche Steigung.
Die Steigung der Geraden ist überall m, also auch im Berührpunkt.
Die Steigung der Kurve ist die 1. Ableitung im Berührpunkt.
Hier war die 1. Ableitung f'(x)=2x-1
Die x-Koordinate von B war xo; also f'(xo)=2xo-1
(einfach für x den Wert xo einsetzen).
Mfg K. |
Jennydeeny
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. November, 2001 - 09:11: |
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DANKE!!! |
Hanna
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Dezember, 2001 - 12:13: |
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hi! ich habe ein problem mit einer aufgabe und zwar habe ich drei punkt von einer parabel und zwar A(6/-4), B (4/2),C (-1/-0,5)und ein punkt von der tangente die an der parabel liegt der ist P (-5,25/-5,75)
aufgaben:
A) stelle die allgemeine funktionsgleichung auf
B) stelle die scheitelform auf,und geben sie den scheitelpunkt an
C) in welchen punkt berührt die Tangente die Parabel?
D) und wie weit ist punkt p (-5,25/-5,75) vom berührpunkt der tangente mit der parabel entfernt? |
Hanna
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Dezember, 2001 - 12:16: |
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hi! ich habe ein problem mit einer aufgabe und zwar habe ich drei punkt von einer parabel und zwar A(6/-4), B (4/2),C (-1/-0,5)und ein punkt von der tangente die an der parabel liegt der ist P (-5,25/-5,75)
aufgaben:
A) stelle die allgemeine funktionsgleichung auf
B) stelle die scheitelform auf,und geben sie den scheitelpunkt an
C) in welchen punkt berührt die Tangente die Parabel?
D) und wie weit ist punkt p (-5,25/-5,75) vom berührpunkt der tangente mit der parabel entfernt? |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Dezember, 2001 - 07:18: |
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Hi Hanna,
Ansatz für die Gleichung der gesuchten Parabel p
y = a * x ^ 2 + b * x + c
Für die unbekannten Koeffizienten a , b , c
können wir drei Gleichungen anschreiben :
A(6/-4) liegt auf p, somit: - 4 = 36 a + 6b + c
B(4 /2) liegt auf p, somit: 2 = 16 a + 4b + c
A(-1/-½) liegt auf p, somit: - ½ = a - b + c
Die Auflösung ergibt: a = - ½ , b = 2 , c = 2 , somit lautet
die Gleichung der Parabel :
y = - ½ x^2 + 2 x + 2
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Das Minuszeichen bei x^2 deutet darauf hin,
dass die Parabel nach unten geöffnet ist, wie es
die Lage der Punkte erfordert.
Den Scheitel finden wir am schnellsten, indem wir die
Ableitung y` von y null setzen:
Aus y` = - x + 2 = 0 folgt der x-Wert xS des Scheitels:
xS = 2 , daraus mit der Parabelgleichung yS = 4,
Scheitel: S(2/4)
°°°°°°°°°°°°°°°
Wir erhalten S nochmals ,wenn wir die rechte Seite
der Parabelgleichung quadratisch ergänzen.
Dies geschieht in einigen wenigen Schritten:
y = - ½ * [x^2 – 4 x] + 2
y = - ½ * [x^2 - 4 x + 4] + 2 +2
y = - ½ * [( x – 2 ) ^ 2] + 4
y – 4 = - ½ * ( x – 2 )^2
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
In der letzten Gleichung liest man nochmals die
Koordinatan xS = 2 (rechts) und yS = 4 (links) ab.
Fortsetzung folgt
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Dezember, 2001 - 09:37: |
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Hi Hanna,
Teilaufgabe c)
P1(x1/y1) sei der Berührungspunkt der gesuchten Tangente t
auf welcher der gegebene Punkt P(-5.25 / -5.75) liegt.
Diese Tangente hat einerseits die Steigung m, die sich aus der
Ableitung y`(x1) ergibt, also m = y`(x1) = - x1 + 2 ,
andrerseits stimmt m mit dem Differenzenquotient
delta y / delta x überein, der aus den Punkten P1 und P2 gewonnen
werden kann:
m = [ y1 + 5.75 ] / [ x1 + 5.25 ] =
Die Gleichsetzung ergibt nach Entfernung der Brüche:
4 * y1 + 23 = (-x1+2) * ( 4*x1+ 2) ;…………………………….(I)
Da der Punkt P1(x1/y1) als Berührungspunkt auf der Parabel liegt,
gilt y1^2 = - ½ * x1 ^ 2 + 2 * x1 + 2
Setzt man dies in (I) ein und vereinfacht so stark wie möglich,
so erhält man die quadratische Gleichung für x1:
2 * x1 ^ 2 + 21 * x1 – 11 = 0
erste Lösung: x1 = ½
zweite Lösung: x1 = -11
Es gibt also, wie zu erwarten war, zwei Tangenten von P1 aus
an die Parabel; für weitere Berechnungen begnügen wir uns mit der
ersten Lösung:
zu x1 = ½ berechnen wir mit der Parabelgleichung
y1 = 23/8 = 2,875.
Damit ist der eine Berührungspunkt bestimmt; eine einfache
Rechnung, die ich Dir überlasse, gibt den Abstand P P1 .
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Hanna
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Dezember, 2001 - 14:39: |
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ich bedanke mich herzlich für die hilfe danke!!!
H.R.Moser,megamath  |
Hanna
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Dezember, 2001 - 16:06: |
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erstmal bedankt ich mich nochmal ich habe die aufgabe mit hilfe H.R.Moser,megamath versucht nachzurechnen aber versteh paar sachen noch nicht ganz und zwar 1. wie er von [y1+ 5,75]/ [x1 + 5,25]=-x+2 auf 4 * y1 + 23 = (-x1+2) * ( 4*x1+ 2) kommt,ich habe es versucht aber ich kam irgend wie net drauf??? 2. wieso ist y1 hoch 2 bei der gleichung y1^2 = - ½ * x1 ^ 2 + 2 * x1 + 2 ??? und 3. wenn man sie gleichsetzt die - ½ * x1 ^ 2 + 2 * x1 + 2 und die [y1+ 5,75]/ [x1 + 5,25]=-x+2 komme ich irgend wie nicht auf 2*x1 ^ 2 + 21 * x1 – 11 = 0
wenn mir jemand das noch erklären würde, das wäre ziemlich net! |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Dezember, 2001 - 12:47: |
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Hi Hanna ,
Ich glaube, es liegt an mir, die Angelegenheit zu klären.
Ich habe in meiner Arbeit zwei Druckfehler entdeckt:
Bei Gleichung (1) muss es in der letzten Klammer
ganz rechts 21 statt 2 heissen.
Uebernächste Zeile:
Die Parabelgleichung beginnt richtig mit y1 =.......,
nicht mit y1 ^ 2 .
Die Rechnung beginnt so:
Den Bruch [y1 +5,75] / [x1 + 5,25] habe ich zunächst
mit 4 erweitert; es entsteht:
[4 y1 + 23 ] / [4 x1 + 21] = - x1 + 2
Bruch weg und rechts Klammern lösen :
4 y1 + 23 = - 4 x1 ^2 + 8 x1 –21 x1 + 42, zusammengefasst :
4 y1 = - 4 x1^2 – 13 x1 + 19 ,
jetzt die (richtige) Parabelgleichung verwenden
führt auf:
- 2 x1^2 + 8 x1 + 8 = - 4 x1^2 - 13 x1 + 19 oder
2 x1^2 + 21 x1 – 11 = 0
Ich hoffe nicht, dass neue Druckfehler entstanden sind !
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
Hanna
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Dezember, 2001 - 01:02: |
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ich bedanke mich für die verbesserung der fehler danke! danke! danke! H.R.Moser,megamath |
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