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Anne
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. November, 2001 - 13:03: | 
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Berechne für die Funktion y=x²*(lnx - 3/2)
Definitionsmenge,Nullstellen,Extremwerte,Wentepunkte,Wendetangenten und ermittle Monotonie und Krümmung!
Naja,was eine Kurvendiskussion ist,weiss ich ja,aber mit dieser Funktio nkann ic hdas nicht rechnen,....könnt ihr mir bitte helfen?????? |
Peter
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. November, 2001 - 18:07: |
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Hi Anne,
erst mal darf das Argument des bösen ln()nicht negativ oder Null werden, also ist die Definitionmenge die Menge der positiven reellen Zahlen.
Nullstellen:
Ein produkt wird genau dann Null, wenn (mindestens) einer der Faktoren Null wird.
x^2=0 oder lnx-3/2=0
x=0 (nicht definiert!) oder lnx=3/2 //e^()
x=e^(3/2)
Schnittpunkt mit der x-Achse N1(e^(3/2)/0)
Für den Rest brauchst du die Ableitungen:
f(x)=x^2(lnx - 3/2) Produktregel
f'(x)=2x(lnx-3/2)+x^2(1/x)=x(2lnx-3)+x=x(2lnx-2)
f''(x)=(2lnx-2)+x(2/x)=2lnx
f'''(x)=2/x
Extrema:
f'(x)=0 ntw. Bed.
x(2lnx-2)=0
x=0 (nicht definiert!)oder 2lnx-2=0
lnx=1 //e^()
x=e ist mgl. Extremstelle
f''(e)=2lne=2>0, also Minimum bei (e/(-e^2/2))
WEndepunkte
f''(x)=0 notw.
2lnx=0
lnx=0 //e^()
x=1 mgl WS
f'''(1)=2 <> 0, also WP(1/(-3/2))
Monotonie
f'>=0 monoton steigend
f'<=0 monoton fallend
f'(x)=x(2lnx-2)
x ist wegen IR+ immer positiv
2lnx-2>0 für x>e
2lnx-2<0 für 0<x<e
Logisch aufgrund des Minimums, f fällt streng monoton bis zum Minimum und steigt danach
Krümmung
f''>0 Linkskrümmung
f''<0 Rechtskrümmung
Rechtskrümmung bis zum Wendepunkt, danach links
Wendetangente fehlt noch
W(1/(-3/2))
m=f'(1)=-2
y=mx+b
-3/2=-2+b
b=1/2
ywt=-2x+1/2
Gruß
Peter |
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