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Beitrag |
    
Gerald Hackl (Gerald)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. November, 2001 - 10:22: | 
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wie kann ich aus dieser Vektorform
g: X=(3,5/6)+t(-7/4) die Geradengleichung erstellen |
Justin
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. November, 2001 - 11:40: |
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Hallo Gerald,
Nur falls Du es nicht wissen solltest: das, was Du angegeben hast, ist EINE Form der Geradengleichung, nämlich die sogenannte Punkt-Richtungs-Form.
Der Vektor (3,5/6) ist dabei der sogenannte Ortsvektor oder Stützverktor, der Vektor (-7/4) hat die Bezeichnung Richtungsvektor.
Daher auch der Name dieser Form.
Nun weiß ich leider nicht, in welche andere Form sie gebracht werden soll. Das geht aus Deiner Aufgabe nicht hervor.
Normalenform: g : n o (x-a) = 0
Hier gilt es den Vektor zu finden, der senkrecht auf dem Richtungsvektor steht.
(n1/n2) o (-7/4) = 0
=> -7*n1 + 4*n2
=> n2 = 7*n1/4
Für n1 wählt man nun eine beliebige Zahl, ich nehme hier mal die 4
Daraus ergibt sich ein n2 = 7
Der Normalenvektor n, der senkrecht auf dem Richtungsvektor steht, hat also die Größe (4/7).
Das setzt man nun in die Normalenformgleichung ein:
g : (4/7) o (x-a) = 0
Für den Vektor a setzt man den Ortsvektor aus der Ausgangsgleichung ein:
g : (4/7) o (x-(3,5/6) = 0
Und das multipliziert man nun aus und erhält:
=> g : 4 * (x1 - 3,5) + 7 * (x2 - 6) = 0
=> g : 4*x1 - 14 + 7*x2 - 42 = 0
=> g : 4*x1 + 7*x2 - 56 = 0
Stimmt das nun auch?
Ich teste mal: x1=0 und x2=8
g : 4*0 + 7*8 - 56 = 0
Und das muss nun auch für die Ausgangsgleichung, die Punktrichtungsgleichung, stimmen.
(0/8) = (3,5/6) + t (-7/4)
(-3,5/2) = t * (-7/4)
t = 0,5
Der Punkt (0/8) liegt also auf der Geraden. Die Normalenform stimmt.
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Des weiteren kann man noch die Achsenabschnittsform ermitteln.
g : (x1/s) + (x2/t) = 1
Die Punkte S(s/0) und T(0/t) sind dabei die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
Einen kennt man nun schon, den Punkt (0/8), den Schnittpunkt mit der x2-Achse. Aus der Normalenform kann man den zweiten aber ganz einfach ermitteln, indem man x2=0 setzt.
g : 4*x1 + 7*x2 - 56 = 0
g : 4*x1 + 7*0 - 56 = 0
x1 = 56/4 = 14
Also schneidet die Gerade die X1-Achse im Punkt (14/0)
Und somit hat die Achsenabschnittsgleichung folgende Form:
g : (x1/14) + (x2/8) = 1
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Aus der Normalenform kann man noch die sogenannte Hessesche Normalenform ableiten. Hier gilt es den sogenannten Normaleneinheitsvektor n0 zu ermitteln so dass gilt:
g : n0 o (x-a) = 0
Dazu nimmt man die bereits ermittelte Normalenform her...
g : (4/7) o (x-(3,5/6) = 0
... und berechnet nun den gesuchten n0-Vektor.
n0 = 1/|n| * n
n0 = (1 / WURZEL(4*4 + 7*7)) * (4/7)
n0 = (0,49 / 0,87)
Und das setzt man nun ein:
g : (0,49/0,87) o (x-(3,5/6)) = 0
g : 0,49*(x1-3,5) + 0,87*(x2-6) = 0
g : 0,49x1 - 1,715 + 0,87*x2 - 5,22 = 0
g : 0,49*x1 + 0,87*x2 - 6,935 = 0
Alles klar? :-) |
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