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Christina
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Februar, 2000 - 17:13: | 
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Parameterfunktion: ft(x)= (x-1/t-1)*e^(tx-1)
a) F 0,5 (x) =8ax+b) + e^80,5x-0,5) ist Stammfunktion von f 0,5 (x) ---> gesucht a und b
b) Gerade mit Gleichung x=z(z<0), Graph von f 0,5 (x) und x-Ahcse schließen Fläche ein. Inhalt A in Abh. von z gesucht. Ermitteln sie lim A(z), z gegen minus unendlich |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Februar, 2000 - 22:19: |
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Hi Christina,
Sollte es in Deiner Aufgabe nicht heissen F 0.5 (x)=(8ax + b ) * e ^ (0.5 x - 1) ?
Wenn dem so wäre , so würde man die folgenden Resultate erhalten :
a = - 0.5 , b = 12 und als Grenzwert für die Fläche A den Wert 12 / e für z gegen minus unendlich.
Bitte um Antwort und freundliche Grüsse
H.R. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Februar, 2000 - 23:08: |
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oder sogar: F 0.5 (x) =(ax + b) * e ^( 0.5 x -1 )
MfG
H.R. |
Christina
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Februar, 2000 - 15:35: |
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Danke. Da hab ich mich vor lauter Eile total vertippt.
richtig:
F 0.5 (x) = (ax+b)*e^(0.5x-0.5) |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Februar, 2000 - 18:00: |
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Hi Christina ,
Vorbemerkung: für t = 0.5 lautet die zu integrierende Funktion
f(x) = 2 ( 1 - x ) * e^ (0.5 x - 1) .Es sollte daher auch in der Stammfunktion F 0.5 (x) als Exponent der e-Funktion 0.5 x - 1 , nicht 0.5 x -0.5 stehen.
Mit den korrekten Daten für F 0.5 (x) = (ax + b) * e ^ (0.5 x -1) ergibt sich als Resultat a = - 4 , b = 12.
Um diese Konstanten zu ermitteln, wird die designierte Stammfunktion F 0.5 (x) mit der Produktregel und der Kettenregel nach x abgeleitet.
Wir erhalten F 0.5 ' (x) = a * e ^ ( 0.5 x - 1 ) + ( a + b x ) * 0.5 * e ^ ( 0.5 x - 1 ) =
( a + 0.5 * b + 0.5 *a * x ) * e ^ ( 0.5 x - 1)
Diese Ableitung muss mit der gegebenen Funktion f 0.5 (x) = 2 * (1-x ) * e ^ ( 0.5 x -1 ) vollständig übereinstimmen ; ein Vergleich der Koeffizienten führt uns auf zwei Gleichungen für a und b: a + 0.5 b = 2 und 0.5 a = - 2 , daraus a = - 4 , b = 12 .
Die so gewonnene Stammfunktion F 0.5 (x) = ( - 4 x + 12 ) * e ^ ( 0.5 x - 1 ) benützen
wir nun , um die Fläche A(z) von z < 0 bis z = 0 zu berechnen . Das entsprechende Gebiet wird begrenzt von der Kurve , der Geraden x = z , der positiven y-Achse und der negativen x-Achse. Wir erhalten durch Einsetzen der Grenzen x = z (untere Grenze ) und x = 0 (obere Grenze) :
A(z) = F 0.5 (0) - F 0.5 (z) = 12* e^ (-1) - ( ( - 4 z + 12 ) * e ^ (0.5 z - 1 )) =
= 12 * e ^ (- 1) + 4 z * e ^ (0.5 z - 1 ) - 12 * e ^ ( 0.5 z - 1 )
Für z gegen minus unendlich strebt A(z) gegen den gesuchten Grenzwert G mit G = 12 * e ^ (-1), weil sowohl der zweite Summand als auch der dritte Summand dabei gegen null gehen , bewirkt durch den starken Abfall der e-Funktion gegen null ,wenn z gegen minus unendlich strebt.
Damit sind wohl alle Fragen ( hoffentlich richtig ) beantwortet !
Mit freundlichen Grüssen
H.R. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Februar, 2000 - 20:23: |
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Hi Christina ,
Hier noch eine kleine Korrektur eines Tippfehlers am Anfang meiner Berechnung; an der
entsprechenden Stelle muss es richtig so heissen
"Wir erhalten F 0.5 ' (x) = a * e ^ ( 0.5 x - 1 ) + ( a x + b ) * 0.5 * e ^ ( 0.5 x - 1 ) = "
Errare humanum !
Mit freundlichen Grüssen
H.R. |
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