| Autor |
Beitrag |
    
Christian
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. November, 2001 - 17:38: | 
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Gegeben sind f und g mit f (x) = (2/9)*x*(x²-9/4) und g (x) = (1/18)*x*(36-x²).
a) Ermitteln Sie die gemeinsamen Punkte der Graphen von f und g; berechnen Sie die Schnittwinkel der Tangenten an die Graphen in diesen Punkten.
b) Bestimmen Sie die Gleichung einer waagerechten Geraden t, die den Graphen von g in einem Punkt B (xB | yB) mit xB > 0 berührt.
c) Die Gerade t von b) schneidet den Graphen von g in einem Punkt T (xT | yT) mit xT < 0. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes T.
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a)
Also ich hab die gemeinsamen Punkte der beiden Funktionen ausgerechnet : (0|0) , (3|4,5) , (-3|-4,5 )
Das stimmt auch, ich hab mir die Graphen mal gezeichnet und da ist es auch so.
Was muss ich jetzt machen um die Tangentensteigung und die Tangentengleichung zu bekommen?
Was muss ich dann machen um den Schnittwinkel zu berechnen?
b)
B müsste doch (3,5|4,5) sein oder?
dann müsste die gleichung h (x) = x + 4,5 lauten , oder?
c)
für c) hab ich keine idee |
Christian
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. November, 2001 - 17:40: |
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ich meine in der Überschrift
SCHNITTWINKEL nicht Schnittpunkt |
K.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. November, 2001 - 11:15: |
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Hallo Christian
a) Deine Schnittpunkte sind richtig
S1(0|0)
S2(3|4,5)
S3(-3|-4,5)
Um die Schnittwinkel zu berechnen brauchst du nun die Tangentensteigungen in den jeweiligen Punkten zu jeder Kurve.
Tangentensteigungen von f(x)
Wegen m=f'(x) folgt mit
f'(x)=(2/9)*(x²-(9/4))+(2/9)x*2x)=(2/9)x²-(1/2)+(4/9)x²=(6/9)x²-(1/2)
f'(0)=-(1/2)=m1(f)
f'(3)=(2/9)*9-(1/2)=3/2=m2(f)
f'(-3)=3/2=m3(f)
Tangentensteigungen von g(x)
Wegen
g'(x)=(1/18)(36-x²)+(1/18)x*(-2x)=2-(1/18)x²-(2/18)x²=2-(3/18)x²=2-(1/6)x²
g'(0)=2=m1(g)
g'(3)=2-(1/6)*9=2-(3/2)=1/2=m2(g)
g'(-3)=1/2=m3(g)
Wegen m1(f)=-1/2 und m1(g)=2 folgt m1f)*m1(g)=-1;
d.h. die Tangenten sind orthogonal zueinander und bilden damit einen Winkel von 90°
Die übrigen Schnittwinkel lassen sich nun mit der Formel
tan(f,g)=(m2-m1)/(1+m1*m2) berechnen.
S2(3|4,5): (f,g)=(m2(g)-m2(f))/(1+m2(f)*m2(g))=((1/2)-(3/2))/(1+(1/2)*(3/2))=-1/(1+(3/4))=-1/(7/4)=-4/7
=> Winkel(f,g)=33° bzw 147°
Für S3 gilt der gleiche Winkel.
b) Wenn B(xB|yB) Berührpunkt einer waagerechten Geraden t sein soll, muss g(x) in B ein Extremum haben; d.h. g'(x)=0
=> 2-(1/6)x²=0
=> (1/6)x²=2
=> x²=12
=> x=Ö12
y=(1/18)Ö12(36-12)=(24/18)Ö12=(4/3)Ö12
B(Ö12|(4/3)Ö12)
Die Gerade t hat somit die Gleichung y=(4/3)Ö12=4,62
c) Schnittpunkte von g und t durch Gleichsetzen ermitteln
(4/3)Ö12=(1/18)x(36-x²)
(4/3)Ö12=2x-(1/18)x³ |*18
24Ö12=36x-x³
x³-36x+24Ö12=0
Da eine Nullstelle, nämlich x=Ö12, bekannt ist, kann man die Gleichung 3.Grades durch polynomdivision auf eine Gleihung 2.Grades zurückführen:
(x³-36x+24Ö12) : (x-Ö12)=x²+xÖ12-24
-(x³-x²Ö12)
---------------------
x²Ö12-36x
-(x²Ö12-12x)
---------------------
-24x+24Ö12
-(-24x+24Ö12)
---------------------
0
Die Gleichung
x²+xÖ12-24=0 mit pq-Formel auflösen
x1,2=-0,5Ö12+-Ö3+24
x1=-0,5Ö12+Ö27=3,46
x2=-6,93
Also T(-6,93|4,62)
Hoffe, dass ich mich nicht verrechnet habe.
Bitte alles nachrechnen.
Mfg K. |
christian
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. November, 2001 - 13:37: |
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hi,
vielen danke für deine hilfe.
aber ich versteh den anfang schon nicht.
wie kommst du auf f'(x)=(2/9)*(x²-(9/4))+(2/9)x*2x) und auf g'(x)=(1/18)(36-x²)+(1/18)x*(-2x) ??
geht das nicht so:
f(x)= (2/9)x(x²-9/4)
= (2/9)x³-(1/2)x
-->f'(x)= (2/3)x²-1/2
und das auch genauso bei g'(x) ?? |
K.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. November, 2001 - 16:22: |
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Hallo Christian
es gibt verschiedene Wege um zur Ableitung zu kommen.
Du kannst selbstverständlich zuerst die Klammern ausrechnen und dann ableiten.
Ich habe die Produktregel angewandt (aber vielleicht kennst du die noch gar nicht).
Dein Ergebnis (2/3)x²-(1/2) entspricht meinem (6/9)x²-(1/2)
Bei g folgt also
g(x)=(1/18)x(36-x²)=2x-(1/18)x³
g'(x)=2-(3/18)x²=2-(1/6)x²
Kommst du nun weiter?
Mfg K. |
Christian
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. November, 2001 - 21:24: |
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nochmals danke für deine hilfe
nein die produktregel kenn ich nicht, ich hätte aber trotzdem sehen können, dass wir dieselben tangentengleichungen haben.
aber ich glaube du hast dich vertan:
bei f'(3) und f'(-3) muss doch 5,5 rauskommen (du hast die falsche gleichung benutzt), denn (2/3)*9-1/2=5,5
warum bilden die tangenten einen 90grad winkel wenn m1(f)*m1(g)=-1 ??
die b) hab ich kapiert.
für die c) hab ich T(-6,31|4,62) raus
kann aber sein, dass ich mich da irgendwo verrechnet hab. werd es gleich nochmal nachrechnen.
aber wie ist das jetzt mit den tangenten?wieso schneiden die sich rechtwinklig? |
Christian
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. November, 2001 - 22:11: |
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ok hab für T deine lösung raus |
K.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. November, 2001 - 08:55: |
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Hallo Christian
hast recht.
f'(3)=f'(-3)=5,5 (hab nicht aufgepasst) Sorry!
Tangenten sind ja nichts anderes als Geraden.
Geraden sind parallel, wenn sie die gleiche Steigung m haben.
Gilt für zwei Geraden die Beziehung
m1*m2=-1
oder anders ausgedrückt
m2=-1/m1
so sind die Geraden orthogonal.
Beispiel:
g1: y=2x und g2: y=-1/2x
Zeichne einfach mal diese beiden Geraden in ein Koordinatensystem und miss den Schnittwinkel.
Dann stellst du fest, dass er 90° ist.
Mfg K. |
christian
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. November, 2001 - 10:31: |
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ja stimmt so wird ja auch die normale berechnet.
bei der berechnung der winkel müsste ja dann auch nicht -4/7 sonder -4/3 rauskommen und dann auch nicht 33 sondern 53grad, oder?
und dann noch eins: wie kommt man auf die tan=gleichung? |
K.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. November, 2001 - 11:06: |
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Hallo Christian
-4/3 sind korrekt
aber tana=-4/3 => a=59° (sagt mein Taschenrechner)
Die tan(f,g)=(m2-m1)/(1+m1*m2)
findet man in der Formelsammlung unter Analytische Geometrie.
Vielleicht steht sie ja auch in deinem Mathebuch.
Mfg K. |
christian
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. November, 2001 - 12:27: |
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ok
vielen dank für deine hilfe |
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