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Beitrag |
    
Gerald Hackl (Gerald)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. November, 2001 - 10:22: | 
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Man soll den Schnittwinkel zwischen Hyperbel hyp und einer Ellipse ell berechnen
hyp: 5x^2-4y^2=20
ell: 7x^2+16y^2=112
wie geht dieses Beispiel? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. November, 2001 - 10:53: |
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Hi Gerald,
Die Auflösung des Gleichungssystems nach x^2 und y^2 gibt
x ^ 2 = 64 / 9 , y ^ 2 = 35 / 9.
Wir erhalten damit die vier Schnittpunkte der beiden Kegelschnitte;
Diese Punkte sind auf die vier Quadranten verteilt ;
ihre gegenseitige Lage ist gekennzeichnet durch achsiale
und zentrale Symmetrie bezüglich der Koordinatenachsen
und des Nullpunktes.
Für die Ermittlung des Schnittwinkels phi der beiden Kurven
kann ein beliebiger dieser Schnittpunkte gewählt werden.
Wir nehmen den Punkt S im ersten Quadrant; seine
Koordinaten sind:
xS = 8/3, yS = wurzel (35) / 3 .
Um die Steigung m1 der Ellipsentangente und die Steigung
m2 der Hyperbeltangente im Punkt S zu bekommen, leiten wir
die gegebenen Gleichungen der Kurven implizit nach x ab.
Ableitung der Ellipsengleichung:
14 * x + 32 * y * y´ = 0 , datraus y´ = - 7x / (16 y ) ;
setzen wir xS und yS ein , so erhalten wir m1 :
m1 = - 7 / [ 2 * wurzel(35) ]
Ableitung der Hyperbelgleichung:
10 * x - 8 * y * y ´= 0 , daraus y ´ = 5 x / ( 4y ) ;
wiederum setzen wir xS und yS ein; daraus entsteht :
m2 = 10 / wurzel(35)
Der Hit der Aufgabe besteht nun darin, dass das Produkt
der Steigungen gerade den Wert -1 hat;
es gilt, wie man leicht nachrechnet
m1 * m2 = -1 ; dies bedeutet, dass die beiden Tangenten
aufeinander senkecht stehen, die Kurven sich also
rechtwinklig schneiden.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. November, 2001 - 11:49: |
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Hi Gerald,
Ich möchte Dir noch eine kleine, aber nützliche
Hintergrundinformation nachliefern.
Die gegebenen Kegelschnitte haben die Brennpunkte
gemeinsam.
Es handelt sich - wie man sagt - um konfokale
Kegelschnitte.
Die Brennpunkte sind F1 ( 3 / 0 ) und F2 ( -3 / 0 )
Nachweis:
Hyperbel : Halbachsen a (x-Achse) , b
lineare Exzentrizität e
a ^ 2 = 20 / 5 = 4 ,…….somit a = 2
b ^ 2 = 20 / 4 = 5 ,……somit b = wurzel(5)
e ^ 2 = a^2 + b ^ 2 = 9, ..somit e = 3
Ellipse : Halbachsen p (x-Achse), q
lineare Exzentrizität f
p ^ 2 = 112 / 7 = 16, also p = 4
q ^ 2 = 112 / 16 = 7, also q = wurzel(7)
f ^ 2 = p^2 - q^2 = 9,also f = 3
Wegen f = e fallen die Brennpunkte zusammen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
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