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Beitrag |
    
Tina_17 (Tina_17)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. November, 2001 - 19:32: | 
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Hey!
Ich blick bei der Aufgabe net durch! Wer kann mir erklären wie so etwas geht:
die 1. Ableitung der Funktion f(x)= 2x+2/x²+3
Danke schön! |
ren
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. November, 2001 - 16:16: |
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Hallo Tina 17,
Summenregel: Ist ein Funktionsterm aus mehreren Summanden zusammengesetzt, werden die Summanden einzeln abgeleitet.
In deinem Fall:
f(x) = 2x + 2/x² + 3
Die Funktion kannst du dir aus drei Funktionen zusammengesetzt denken:
f(x) = g(x) + h(x) + i(x), wobei g(x) = 2x , h(x) = 2/x² , i(x) = 3
Die Funktionen g und i (konstante Funktion) sind einfach abzuleiten:
g'(x) = 2 (Faktor- und Potenzregel)
i'(x) = 0 (konstante Summanden fallen beim Ableiten weg).
Bei der Funktion h(x) hast du mehrere Möglichkeiten. Ich persönlich bevorzuge folgende:
h(x) = 2/x² = 2*1/x² = 2 x-2.
Dann lässt sich die Potenzregel anwenden (lax formuliert: bei der Ableitung setzt man die Hochzahl (den Exponenten) als Faktor voran und vermindert den Grad der Funktion um 1)
h'(x) = 2*(-2)*x-2-1 = - 4 x- 3 = ( als Bruch geschrieben) - 4 / x³ .
Du kannst aber auch die Quotientenregel anwenden: Dann denkst du dir h(x) zusammengesetzt aus den Funktionen u(x) = 2 und v(x) = x² . Die Ableitung einer solchen Funktion
h(x) = u (x) / v(x) ist allgemein h'(x) = [v(x) u'(x) - u(x)v'(x)] / [v(x)]²
In deinem Fall:
h'(x) = [x² * 0 - 2 * 2x] / (x²)² = - 4x / x4 = (gekürzt) - 4 / x³.
Die Ableitung deiner Funktion f ist also insgesamt:
f'(x) = 2 - 4/x³ |
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