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Fuzzylogik
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Februar, 2000 - 17:35: | 
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Moin,
Ich habe hier ein kleines Problemchen. Und zwar geht es um die mengenmässige Verbrauchsfunktion, d.h. z.B. den Benzinverbrauch eines Autos abh. von den Geschwindigkeiten (=Intensitäten).
Hier liegt eine Messreihe vor (siehe unten). Ich wollte nun bestimmen, wo der Verbrauch minimal wird (parabelförmige Kurve...), hierzu benötige ich ja die Funktiosngleichung. Tja, ich weiss aber nicht, wievielten Grades die Funktion ist. Somit ist die Zahl der nötigen Gleichungen unbekannt!!
Kann man das irgendwie rauslocken? (Mein Mathematikprogramm kapituliert bei soviel Punkten)
Mein BWL-Lehrer meinte nun, das Minimum könne man auch mit der Mehtode der kleinsten Quadrate bestimmen. Wie soll das gehen, im Mathematiklexikon steht dazu nur, dass es sich um eine Fehlerrechung handelt. Mehr wollte mir auch der Lehrer nicht verraten (Zeitdruck...)
Hier die Werte:
Geschwk - Verbrauch
3,5 - 1,4
5 - 1,41
10 - 1,44
20 - 1,64
30 - 1,98
40 - 2,578
50 - 3,335
60 - 4,133
70 - 4,987
80 - 5,974
90 - 7,2
100 -8,578
110 -10,022
120 -12,0
130 -14,156
140 -16,8
150 -20,334
160 -24,533
170 -29,466
180 -37,8
Eigentlich bräuchte ich aber nicht nur das Minimum, sondern schon die komplette Funktionsgleichung, weil ich mit der weiterrechnen muss zu anderen Zwecken.
Schankedön,
XXFuzzylogikXX |
Fuzzylogik
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Februar, 2000 - 19:22: |
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Betriebswirtschaftlich sinnvoller ist es, folgende Werte zu benutzen. Diese geben den Benzinverbrauch in l/km an bei unterschiedlichen Intensitätten in km/h. Obige Tabelle, die l/h angibt, lässt nicht die optimale Intensität erkennen, sprich diese, wo der Benzinverbrauch pro km am günstigsten ist.
Hier ist alles roger:
3,5 - 0,4
5 - 0,282
10 - 0,144
20 - 0,082
30 - 0,066
40 - 0,064
50 - 0,067
60 - 0,069
70 - 0,071
80 - 0,075
90 - 0,08
100 - 0,085
110 - 0,091
120 - 0,1
130 - 0,108
140 - 0,12
150 - 0,136
160 - 0,153
170 - 0,173
180 - 0,21
Dazu die Funktionsgleichung wäre nicht schlecht.
Viele Grüsse
XXFuzzylogikXX |
Ingo
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Februar, 2000 - 01:33: |
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Die Methode der kleinsten Quadrate geht davon aus,daß deine Meßreihe bereits Fehler aufweist,da ja in der Realität 100% exakte Werte nicht erzielt werden können.Du nimmst also an,daß die Verbrauchsfunktion eine Parabel ist und suchst Dir dann unter allen Parabeln diejenige aus,die am wenigsten von den Meßwerten abweicht.
Ansatz : f(x)=ax2+bx+c
S(a,b,c)=S20 k=1 (f(xi)-yi)2
S->Min
Wenn Ihr dazu noch keine Formeln habt wird es schwierig das Minimum zu bestimmen,da S eine mehrdimensionale Funktion ist. Du müßtest dann den Gradienten(So heißt die 1.Ableitung im Mehrdimensionalen) 0 setzen,um die gesuchten Parameter a,b,c zu bekommen. |
Fuzzylogik
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Februar, 2000 - 20:18: |
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Hallo Ingo,
tja, das ist nun etwas knifflig. Ich sehe da keinen direkten Zusammenhang zwischen Fehlerrechnung und Funktionsgleichung. Bzw, den Ansatz kann ich - ausser der allgemeinen Form - nicht ganz nachvollziehen:Die Bildungsregel der Summe ist unklar.
Und diese Funktion wäre dann abzuleiten - oh!
Ist das Differentialgeometrie?
Einen anderen Rat bekam ich noch: ich soll einfach eine Funktion zweiten Grades aus zwei Punkten bestimmen, und schauen, wie gross die Abweichung von den gegebenen anderen Werten ist. Wenn diese zu hoch ist, soll ich eine Gleichung dritten Grades aus 4 Punkten ermitteln, wenn das nicht reicht, eine 4. Grades usw. - aber da bin ich ggf noch nächstes Jahr am ermitteln?? Ist das überhaupt eine empfehlenswerte Methode?
Viele Grüsse
XXFuzzylogikXX |
Fuzzylogik
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Februar, 2000 - 20:35: |
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Zum ersten Teil muss ich mich korrigieren: die Potenzreihe ist schon klar: sie gibt die Quadrate der Differenzen zwischen den gemessenen y und den tatsächlichen Funktionswerten an.
Wo also das Minimum dieser Funktion ist, ist das Quadrat der Differenz am geringsten - aha. Bei diesem x liegt also der geringste Fehler vor. Das ist eine schönere Lösung, als im Mathematiklexikon.
Das kann ich so aber wohl nicht gebrauchen, weil ich ja die Funktionsgleichung suche, die die gemessenen Werte beschreibt!! Einen gewissen Fehler nehme ich dabei in Kauf. Diese Funktion müsste dann sogar ich ableiten können, weil nur eine Variable, x nämlich, drin vorkommt.
Mit einiger Mühe habe ich bisher schon mal Funktionen mit 2 Var (Funktionsscharen) bearbeitet, die man ja auch als 3-D-Funktion zeichnen kann. Mit 3 Var. wäre ich ad hoc wirklich ziemlich hilflos.
Grüsse
XXFuzzylogikXX |
Ingo
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. Februar, 2000 - 00:29: |
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Okay,dann mach ich das mal mit der mehrdimensionalen Ableitung. Die Bestimmungsgleichungen lauten dann
0=aS20 i=1xi4 + bS20 i=1xi3 + cS20 i=1xi2 - S20 i=1yixi2
0=aS20 i=1xi3 + bS20 i=1xi2 + cS20 i=1xi - S20 i=1yixi
0=aS20 i=1xi2 + bS20 i=1xi + 20c - S20 i=1yi
Und falls das auch nicht hilft vielleicht ein Tip,wie Du die Parabel sonst noch ermitteln kannst. Betrachten wir mal eine Wertetabelle der Funktion f(x)=x2 :
x f(x) Df(x) DDf(x)
0 0
1 1 1
2 4 3 2
3 9 5 2
D ist immer die Differenz zweier vorheriger Werte,also 4-1,9-4 u.s.w
Du siehst,daß DDf(x) stehts zwei ist und "zufällig" ist f''(x)=2. Bei f(x)=x3 würdest Du das Ergebnis DDDf(x)=6=f'''(x) herausbekommen u.s.w.
Also versuch dieses Verfahren auf Deine Werte zu übertragen und wähle dann einen Mittelwert,wenn die Abweichungen gering ausfallen(z.B. kann 1,1.1,1 durchaus als konstant 1 gewertet werden.Das müßte eigentlich auch zum Ziel führen. |
Fuzzylogik
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. Februar, 2000 - 02:41: |
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Hallo Ingo,
vorab vielen Dank. Muss ich mir am Wochenende in Ruhe anschauen. Die zweite Methode sieht ja ganz nett aus, nur was ist bei Vorhandensein weiterer Glieder? Dann ergibt sich zwar auch k=2 (also, wie oft man die Differenz ermitteln muss, um auf konstanten Wert zu kommen), aber man kann nicht erkennen, ob da noch mehr ist. Ich befürchte aber genau das, weil der Graph sehr gestaucht aussieht, und auch nicht symmetrisch zu einer Senkrechten durch das Minimum ist... sieht nur so ähnlich aus wie eine Parabel.
Aber nochmal zum Verständnis: die Glieder der Potenzreihe aus Deiner vorhergehenden Mail geben doch die Differenzen zwischen f(x) und y ^2 an. Und aus dieser allgemeinen Form kann man durch Einsetzen der im vorliegenden Fall spezifischen Werte die Funktionsgleichung bestimmen?
Viele Grüsse
XXFuzzylogikXX |
Ingo
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. Februar, 2000 - 12:42: |
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In der konstanten Differenz steckt etwas mehr,nämlich der erste Koeffizient.Bei einer Konstanten von 2 ist der Funktionsansatz f(x)=x2+ax+b,hättest Du 4 herausbekommen wäre es f(x)=2x2+ax+b,denn f ''(x)=4 u.s.w.
Bei den anderen Koeffizienten wirds etwas aufwendiger sie auf diese Art zu ermitteln, ist aber eigentlich auch kein Problem.Da Du den ersten Koeffizienten kennst,wendest Du dasgleiche Verfahren nochmal auf die Funktion g(x)=f(x)-x2 an und bekommst so den zweiten Koeffizienten heraus u.s.w.
Beispiel f(x)=2x2+3x
x f(x) Df(x) DDf(x)
0 0
1 5
2 14 9
3 27 13 4
4 44 17 4
Folgerung : f(x)=2x2+ax+b
x g(x)=f(x)-2x2 Dg(x)
0 0
1 3 3
2 6 3
3 9 3
4 10 3
-> g(x)=3x
Insgesamt : f(x)=2x2+3x |
Ingo
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. Februar, 2000 - 12:53: |
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Ach richtig die Differenzfrage :
Du hast richtig erkannt,daß die Summe ein Maß für die Abweichung der geschätzten Funktion von den gemessenen Werten angibt.Je größer die Abweichung umso größer wird auch die Summe.Das Quadrat bewirkt zweierlei : erstens wird die Abweichungsrichtung unerheblich und zweitens werden größere Abweichungen stärker "bestraft".
Die Funktion die Du dabei erhältst(über das oben angegebene Gleichungssystem) ist dann diejenige,welche NACH DIESEM MAß (!) die geringste Abweichung von deinen Werten aufweist.
Anstelle des Quadrates könnte beispielsweise auch der Betrag genommen werden(problem : Differenzierbarkeit geht verloren),oder auch hoch vier,wenn man die größeren Abweichungen noch weniger tollerieren will.Es wird aber bei jeder Methode eine andere Funktion herauskommen,die erfahrungsgemäß allerdings nicht sehr voneinander abweichen. |
Fuzzylogik
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. Februar, 2000 - 19:17: |
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Hallo Ingo,
ich habe mich heute in einem netten Buch - Mangoldt, höhere MA, Bd 2 von 1934 :-) - mal über die partielle Differentiation etwas informiert. Danach muss man also nach den Var. jeweils einzeln ableiten und erhält die partiellen Differentiále.
Der Gradient wäre demnach af`(x)+bf`(y)+cf`(z), wobei a,b,c die Werte angeben, die man von x0,y0,z0 aus in eine Richtung geht.
Habe ich das richtig verstanden?
Ausserdem kann man von (x0,y0,z0) nach dem neuen Punkt einen Vektor einzeichnen. Ist dieser die grafische Darstellung der Gradiente?
Wenn dem so ist, wäre ich der Sache ja schon auf der Spur. Allerdings muss man dann erst noch auf die Bestimmungsgleichungen kommen...
Ich versuche jetzt aber mal, die Funktionsgleichung endlich zu bestimmen mittels der drei Gleichungen.
Viele Grüsse
XXFuzzylogikXX |
Franz
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. Februar, 2000 - 20:06: |
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Warum nicht gleich eine Taylorentwicklung der Ausgleichskurve und vorher ein bestimmtes Gütekriterium setzen? Aus y=SUMME[n=0..oo]a(n)x^n ergibt sich nach dem Gaußschen Kriterium a(n)=(E(x^n*y)-SUMME[k=0..n-1]a(k)*E(x^k+n))/E(x^2n) mit z.B. den bekannten a(0), a(1) der linearen Regression. |
Fuzzylogik
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Februar, 2000 - 21:19: |
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Hallo Ingo, hallo Franz,
nachdem ich mir heute mal den ganzen Tag ein paar Gedanken gemacht habe, sind noch folgende Fragen übrig:
- genauer Rechenweg der Ableitung der Summe ist unklar (wurden partielle Ableitungen nach a,b,c gemacht),
- ergeben sich daraus die 3 Gleichungen direkt
- handelt es sich bei diesen Gleichungen etwa um die sog. Normalgleichungen, die sich bei der Forderung nach dem Minimum der Abweichungen der Quadratsummen ergeben?
- wenn dem so sein sollte, wo kann ich diese Normalgleichungen für Funktionen n-ten Grades bekommen??????? (Extrem wichtig, weil ich mit der quadratischen Funktion in diesem Fall danebengelegen habe)
Ob meine Gleichung, die ich ermittelt habe, plausibel ist, habe ich mit der pq-Formel und der Diskriminante ermittelt. Demnach gibt es Werte unter 0, das würde hier heissen negativer Benzinverbrauch. Also ist zweiten Grades Unsinn.
Ggf handelt es sich auch um den Ast einer gebrochenrationalen Funktion (aber keine irrationale Funktion) - wie geht man den dann vor, gibt es hierfür auch Normallgleichungen?
Muchos grussos
XXFuzzylogikXX |
Ingo
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Februar, 2000 - 00:27: |
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Sagt Dir "Spline-Interpolation" vielleicht etwas ? Das ist grob gesagt ein Verfahren bei dem Du drei benachbarte Werte differenzierbar durch funktionen dritten Grades verbindest.So erhältst Du ein "glattes" Abbild Deiner Daten.
DAs aber nur am Rande.Wenn ich mir die Daten nochmal anschaue vermute ich,daß man eine Funktion nehmen könnte,die sich aus einer Parabel und einer anderen Funktion(möglicherweise eine andere Parabel) zusammensetzt.Du weißt ja schon,daß das Minimum im Bereich von 40 liegen wird.Du hast dann zwei Möglichkeiten :
Erstens Du legst eine Parabel durch drei Punkte um das Minimum herum und bestimmst dessen Minimum.Dann hast Du zumindest eine recht gute Schätzung.
Zweitens Du versuchst es nochmal mit dem Teil-Ansatz (rechts von Minimum eine Parable,deren Gleichung Du wieder über das GLS berechnen kannst,indem Du die linken Werte vernachlässigst.Links von Minimum etwas anderes,aber so verbunden,daß ein stetiger,oder noch besser differenzierbarer, Übergang entsteht)
Zu Deinen Fragen :
Die Gleichungen bekommst Du über den Gradienten der Funktion(also die partiellen Ableitungen).Für die erste Komponente ist das Beispielsweise
d/da S(a,b,c) = S20 i=1 2(axi2+bxi+c-yi)*xi2
=S20 i=1 2(axi4+bxi3+(c-yi)xi2)
=2aS20 i=1 xi4 + 2bS20 i=1xi3 + 2cS20 i=1xi2 - 2S20 i=1yi*xi2 |
Fuzzylogik
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Februar, 2000 - 02:18: |
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Hallo Ingo,
eben habe ich es auch geschafft, den Gradienten zu berechnen. So schwer ist es eigentlich nicht, wenn man weiss, was warum und wozu zu tun ist. Es müsste sogar auch gehen, über diese Art einen Gradienten für eine gebrrat Funktion zu berechnen. Ausserdem habe ich festgestellt, dass dieses GLS rekursiv sein dürfte, so dass ich nicht immer vom Anfang an ausgehen muss.
Mit der Funktion das wundert mich eigentlich, weil lt unserem BWL-Lehrer eigentlich immer eine höchstens kubische Verbrauchsfunktion bei Benzinverbrauch vorliegt. Abschnittsweise sei es bei anderen Kosten, etwa Wartung - die nur ansteigt, wenn man über der technischen Kapazität fährt - dann geht das Ding schneller kaputt.
Aber wahrscheinlich sind das "didaktische Vereinfachungen", während meine Wertetabelle realistische Messwerte enthält.
Ich versuchs einfach mal mit der abschnittsweise def. Funktion, und wenn möglich mit einer gebrrat Fn 2. Grades, sowie einer ganzrat Fn. 3. Grades.
Ist eine Heidenrechnerei, gibts da vielleicht ein Programm, das aus den GLS die Funktionsgleichung berechnen kann?? Das wäre wirklich super. Winfkt 9 hat das leiderleider nicht wies aussieht.
Schönen Montag wünscht
XXFuzzylogikXX
P.S.: gibt es eigentlich eine Möglichkeit festzustellen, ob eine Fn dritten Grades Nullstellen hat, also eine allgemeine Form? Herleitung über Cardano sprengt meinen Rahmen etwas, weil ich i noch nicht behandelt habe... |
Zaph
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Februar, 2000 - 20:55: |
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Eine Fkt. dritten Grades hat immer mindestens eine reelle Nullstelle (da f(x)-> -oo für x-> -oo und f(x)-> +oo für x-> +oo oder umgekehrt). Um zu entscheiden, ob weitere reelle Nullstennen existieren, berechne relatives Minimum und Maximum und kucke, ob das Maximum positiv und das Minimaum negativ. Wenn ja, dann gibt es genau drei reelle Nullstellen. |
Fuzzylogik
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. März, 2000 - 12:46: |
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Hallo Zaph,
tja, das ist was, an die eine immer vorhandene NSt habe ich garnicht gedacht. Aber das macht in diesem Zusammenhang auch wenig aus, weil bei den meisten BWL-Funktionen (jedenfalls den behandelten) dieser Ast mit der NST immer im negativen Bereich ist, und somit ausserhalb des ökonomischen Definitionsbereiches.
Deshalb kann es auch für diesen Bereich keine Messwerte geben, sonst hätte es die Überlegung vereinfscht, was für einen Grad die Funktion hat.
Mit Maximum und Minimum ist auch gut. Ich dachte halt, für 3. Grades gibt es vielleicht eine Sache, die so schnell geht wie das mit der Diskriminanten in der pq-Formel. Da hätte ich weniger rechnen müssen, mit den vorliegenden Zahlen ist das sehr aufwendig (Riesenbrüche).
Viele Grüsse
XXFuzzylogikXX |
Fuzzylogik
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. März, 2000 - 16:13: |
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Hallo nochmal,
tja, mittlerweile hat es mit dem Gradient einer gebrochenrationalen Fn auch geklappt, ebenso mit dem Erstellen von Funktionsgleichungen und Annäherungsgleichungen in Derive.
Problem: meine Lösung und die des Mathematikprogrammes stimmen nicht überein.
Ich habe in Ingos o.g. Gleichungssystem die Summen eingesetzt, und dann wie gewohnt a, b, und c berechnet (Subtraktion der Gleichungen mit Wegfall eines Gliedes). Die sich somit ergebenden Koeffizienten ergeben leider eine nach unten offene Parabel mit 2 Sx.
Laut Derive ergibt sich jedoch eine nach oben offene Parabel ohne Sx mit der Gleichung
45/1947443 *x^2 - 3012/709333 *x + 1241/4965
Gibt es etwa Besonderheiten bei diesem System von Bestimmungsgleichungen?? Denn, Rechenfehler sind garantiert nicht enthalten!
Viele karnevalistische Grüsse
XXFuzzylogikXX |
Fuzzylogik
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. März, 2000 - 17:13: |
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Hm, ähh, tja, da war was ... und zwar habe ich die Summen mit Excel ausrechnen lassen, und da leider eine Formel vertippt ... jetzt sind beide Graphen deckungsgleich.
Es ist übrigens doch eine Parabel, die dem "richtigen" Graph ziemlich nahe kommt.
Problem also erledigt, dankeschön für Eure Hilfe!
Euer
XXFuzzylogikXX |
Anonym
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. März, 2000 - 18:47: |
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Funktionsgleichung nach Polynomregression:
f(x)=1,3249658e-16*x^9 - 1,0757306e-13*x^8 + 3,6769904e-11*x^7 - 6,87516423e-x^6 + 7,64731299e-7*x^5 - 5,14722518e-5*x^4 + 0,00203548011*x^3 - 0,04281983245*x^2 + 0,42516065954*x + 0,11088213023
Bestimmtheitsmaß : 0,99992
Korrelationskoeffizient : 0,99996
Standardabweichung : 0,1283
Keine Extrema oder Wendepunkte |
Ingo
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. März, 2000 - 21:54: |
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Hey Anonym,
nett daß Du dir die Mühe gemacht hast eine Funktion zu bestimmen,aber erstens ist das völlig sinnlos,da ein Polynom 9.Grades viel zu sehr schwankt,um den recht gradlinigen Verlauf des Benzinverbrauchs darzustellen und zweitens hat ein Polynom 7.Grades mindestens eine Nullstelle,so daß es einen Wendepunkt,oder zumindest einen Sattelpunkt geben muß ! |
Fuzzylogik
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. März, 2000 - 04:16: |
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Moin,
echt stark, Anonym, mit obiger Funktionsgleichung! Das sagt mir zwar nicht viel (Bestimmtheitsmaß, Korrelationskoeffizient), aber ich finde die Unterstützung schon toll - natürlich auch von Ingo.
Das Ziel ist ja erreicht, mit dem Gradient bin ich ganz gut klargekommen, habe eben die 4. Verbrauchsfunktion erstellt und alle viere zu einer Gesamt-variable-Stückkosten-Funktion zusammengefasst. Das ist ja der Zweck der Übung.
Zur Benzinkurve: nach einigem Brüten habe ich mich auf eine Fn 3.Grades verlegt, die Parabel 2. Grades hatte zu hohe Abweichungen. Jedoch, höher als 3. Grad ergibt keine brauchbaren Funktionen (hab ich auch durchprobiert, geht ja mit Derive einigermassen flott).
Dafür, dass wir in der Schule nur mit Wertetabelle in 10er-Schritten ohne Funktionsgleichung arbeiten, finde ich meine Annäherungs-Ergebnisse recht brauchbar.
Tja, nochmals schankedön,
Euer
XXFuzzylogikXX |
Zaph
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. März, 2000 - 14:56: |
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Hi Fuzzylogik,
habe im Algebrabuch was über Diskriminanten nachgelesen. In der Tat gibt es für jedes Polynom eine Diskriminante. Für ein Polynom ax³ + bx² + cx + d dritten Grades lautet sie
D = b²c² - 4ac³ - 4b³d - 27a²d² + 18abcd.
Es gilt:
D > 0 - Das Polynom hat drei reelle Nullstellen.
D = 0 - Das Polynom hat eine einfache und eine doppelte reelle Nullstelle (Berührpunkt mit der x-Achse) oder eine dreifache reelle Nullstelle (Sattelpunkt auf x-Achse).
D < 0 - Das Polynom hat eine reelle und zwei komplexe Nullstelen. |
alexander
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Mai, 2000 - 20:46: |
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hallo! benötige dringendstestestest den wendepunkt einer kurve, deren funktion ich nicht kenne! hier die funktionswerte:
A(19/3,81)
B(19,5/3,69)
C(20/3,56)
D(20,51/3,35)
E(21/3,09)
F(21,5/2,63)
G(22/2,23)
H(22,5/2,00)
I(23/1,85)
J(23,51/1,73)
K(24/1,65)
L(24,5/1,58)
M(25/1,52)
Bitte verständlich, bin nur ein unmathematischer chemiker! |
Nobi
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Juni, 2000 - 20:05: |
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Hallo Alexander,
also das halte ich für hoffnungslos, aus diesen Werte eine einzige Funktionsgleichung zu ermitteln, aus der man auch noch rechnerisch den Wendepunkt bestimmen kann.
Tip: Zeichne auf Millimeterpapier und lies ab (wird so bei x=21,5 liegen). Reicht diese Genauigkeit für deine Zwecke?
Oder: Numerische Methoden in dem Bereich der interessant ist (x=20,5 - x=22) z.B. Spline-Interpolation |
Bodo
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Juni, 2000 - 19:24: |
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Das Problem mit dem Wendepunkt ist, daß es unendlich viele Funktionen gibt (Z.B. Polynome, per Interpolation ermittelbar), die die oben gegeben Funktionswerte haben, aber verschiedene Wendepunkte. Die Aufgabenstellung ist also nicht eindeutig.
Deshalb ist das von Nobi erwähnte Vorgehen für Deine Zwecke sicher ganz praktikabel.
Wo hast Du diese Fragestellung her?
Bodo |
Alexander
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Juni, 2000 - 21:42: |
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Hallo Leute!
Eine Frage habe ich noch: wie kann man den Wendepunkt am besten ablesen ?(gibts da irgendeinen Trick?)
Die Werte entstammen einer Titration, der Wendepuntk entsprich dem Äquivalenzpunkt, daher brauche ich den ganz genau.
Danke,
Alexander |
Ralf
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Juni, 2000 - 20:02: |
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Stell Dir vor, Du fährst auf der Kurve Fahrrad. Der Wendepunkt ist genau da, wo die Rechts- in eine Linkskurve übergeht. Genau da, wo Du den Lenker (für einen kurzen Moment) gerade hast.
Die Genauigkeit der Ablesung ist von der Auflösung Deiner Zeichnung abhängig.
Du kannst den Umgebungsbereich ja stark vergrößern, dann bekommst Du ein beliebig genaues Ergebnis (mit dem Funktionenplotter auf der Hauptseite von Zahlreich)
Ralf |
Fuzzylogik (Tommy123)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Juni, 2000 - 16:34: |
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Hallo!
Ich habe Ingos Methode, die er am 26.Febr gepostet hat, bei einer arithmetischen Folge angewandt. Das klappt ja sehr gut.
Als ich es dann bei einer geometrischen Folge versucht habe, hat sich nach der 8. Differenzenfolge immer noch keine konstante Differenz eingestellt, obwohl ich kleine Rundungsfehler "toleriert" habe (oder genau deswegen?). Es hat sich im Gegenteil eine Differenzenfolge gezeigt, bei der unregelmässig auch negative Differenzen vorkamen.
Es frägt sich, ob ich noch mehr Glieser berechnen sollte, weil der Grad der Funktion höher als 8 ist (soweit habe ich Differenzenfolgen gerechnet)? Es müsste ja eigentlich irgendwann eine konstante Differenzenfolge auftreten, aber das kann dauern, oder?
Viele Grüße
***Fuzzylogik*** |
Ingo
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Juni, 2000 - 23:28: |
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Es kommt nur eine konstante Differenzenfolge heraus,wenn es sich bei der expliziten Darstellung um eine Polynomfunktion handelt.Ist es aber eine Exponentialfunktion oder irgendetwas anderes,klappt dies Verfahren natürlich nicht.
Nimm das einfache Beispiel f(x)=2x
1.Differenzen : 2,4,8,16,...
2.Differenzen : 2,4,8,16,...
u.s.w.
Hierbei sind die Differenzenfolgen identisch,bei einer Kombination f(x)=x+2x würde sich nach einer gewissen Zeit auch identische Differenzen zeigen,nämlich sobald der x-Term in den Differenzen verschwindet. |
Fuzzylogik (Tommy123)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Juni, 2000 - 23:51: |
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Hallo,
tja, das ist dann bei einer geometrischen Folge ungünstig, stimmt... |
Fuzzylogik (Tommy123)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juni, 2000 - 17:51: |
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Hallo Ingo,
eben habe ich aus der Summenformel für die geometrische Reihe an bzw a1 eliminiert, vereinfacht, und dann q zu e "überführt", indem ich aus q^x nun e^(k*x) gemacht habe (x = n Element aus N, sn = f(x) ). Das k soll dabei eine feste Zahl sein, die eben e als Basis ermöglicht.
Dann hat sich ergeben:
f(x) = e^(k*x) - b
wobei b = s0 ist, und den y-Achsenabschnitt darstellt.
Kann diese Vorgehensweise richtig sein?
Viele Grüße
**Fuzzylogik**
P.S.: die Vorteile der Funktion mit e anstatt mit q liegen wohl darin, dass man sie einfacher differenzieren kann? |
Fuzzylogik (Tommy123)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juni, 2000 - 23:40: |
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Ähm, äh tja, es geht natürlich so, wenn man bedenkt, dass k = ln(q) ist, dann kann man die Sache ja jederzeit zurückformen - es hat sich also durch die Basisänderung zu e eigentlich weder ein Vor- noch ein Nachteil (ausser verstärkter Tippserei auf dem Taschenrechner) ergeben.
Demnach wäre also e nichts anderes als ein spezielles q für bestimmte Vorgänge (ja, Bakterienwachstum, feine Sache :-)).
Aber wieso liest man dann manchmal von e^(k*x), man könnte doch genausogut q^x schreiben?
Tschüss
**Fuzzylogik** |
lutzoehme
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Juni, 2000 - 17:58: |
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Hallo Ihr Genies,
ich bitte Euch um Hilfe bei der folgenden Aufgabe:
Gegeben:
grafische Darstellung der Entwicklung der Bevölkerungsdichte der Bundesrepublik im Zeitraum 1816 - 1974 (x=t und f(x)=Einwohner in Mill.
Gesucht:
Funktion [f(x)], die die Bevölkerungsentwicklung im Zeitraum 1816 - 1974 und darüber hinaus für die nicht erfasste Vergangenheit und die vermutete Zukunft möglichst annähernd gut wiedergibt (ohne den fünf neuen Bundesländern) |
Anonym
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Juni, 2000 - 22:13: |
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Welche Bundesrepublik?
Bundesrepublik Deutschland?
Bundesrepublik Deutschland um 1816?
Bundesrepublik Deutschland um 1816 ohne die neuen Bundesländer!
Frag mal Deinen Geschichtslehrer! |
Evelyn
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Januar, 2001 - 15:59: |
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Hilfe, Hilfe ich schreibe morgen eine klassenarbeit in mathe und ich kann nichts.
Kann mir jetzt jemand helfen in sachen
liniare Funktion? wzb: f(x)=3x-8 oder so
Bitte macht schnell
Danke |
Ellen (Nirwana)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Januar, 2001 - 17:52: |
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Bei Deinem Beispiel f(x)=3x-8 musst Du die Gleichung ja nach x auflösen. Also musst Du alle anderen Zahlen auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens da wegbekommen: Zuerst nimmst Du die -8 da weg, indem Du sie auf der linken Seite addierst. Dann steht da Folgendes:
8=3x
Um jetzt die drei da wegzubekommen, musst Du sie (da 3x ja ein Produkt ist), sie dividieren, wieder auf beiden Seiten. Dann steht da:
8:3 = x oder richtiger: 8/3 = x
Somit wäre das Ergebnis dieser Aufgabe x = 8/3
Allgemeiner:
Du musst immer zusehen, dass Du alle Zahlen auf der Seite, auf der das x (oder überhaupt die gesuchte Variable) steht, wegbekommst, indem Du auf beiden Seiten addierst (+ nimmst), subtrahierst (- nimmst), multiplizierst (mal nimmst) oder dividierst (teilst).
Ich hoffe, ich konnte Dir ein wenig helfen? Viel Glück bei Deiner Klausur morgen! |
Lars
| | Veröffentlicht am Samstag, den 28. April, 2001 - 10:43: |
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Mal was ganz anderes:
Ich habe eine Reihe von Zahlen, die sich wie folgt beschreiben lassen:
x1=a*d - b +c
x2=a^2*d + a*(d-b) - 2*b +c
x3=a^3*d + a^2*(d-b) + a*(d-b) - 3*b +c
...usw.
Wie lautet die allgemeingültige Funktion für xn???
(Bin schon eine Weile aus der Schule raus und im Alter läßt ja bekanntlich die -äh- Gehirnleistung nach...)
Danke,
Lars. |
Lars
| | Veröffentlicht am Samstag, den 28. April, 2001 - 12:45: |
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Korrektur:
x3=a^3*d + a^2*(d-b) + a*(d-2*b) + c - 3*b |
Jan
| | Veröffentlicht am Samstag, den 28. April, 2001 - 18:12: |
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Hallo Lars,
Bitte neue Fragen nicht anhängen sondern einen neuen Beitrag öffnen! |
mascha
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. September, 2001 - 10:15: |
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hi ich bräuchte mal den Definitionsbereich und den Wertebereich folgender Funktionen
f1(x)=0,5x-3 und f2(x)=-0,75x+3.
und denn noch in welcher Zahlenmenge ist der Punkt P(4,8/-0,6) |
Ingo (Ingo)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. September, 2001 - 19:44: |
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Definitionsbereich ist alles das was Du für x einsetzen darfst. Da es sich hier um "einfache" Geraden handelt gibt es keine Einschränkung an x und es ist sowohl der Definitions- als auch der Wertebereich ganz IR.
Die zweite Frage ist nicht eindeutig zu beantworten. Es gibt unendlich viele Zahlenmengen in denen sich der von Dir genannte Punkt befindet, zum Beispiel IR² , {(x,y)|y=-x/8} oder auch {(x,y)|y=x-5,4} |
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