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jep nep (Seppp)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. November, 2001 - 23:31: | 
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Na Leut, ich hab da was, was mir probleme bereitet.
Aufgabe: Ermittle den kleinstmöglichen Abstand zwischen den Funktionen y = x und y = exp(2*x).
also ich habe so begonnen:
den x-wert der Fkt. y = exp(2*x) ermitteln, bei dem die Steigung 1 ist, genau so wie bei y = x. dafür die erste Ableitung gleich 1 setzen
y`= 2*exp (2*x) => 2*x*ln+1=1
nun habe ich so weitergerechnet doch es kam alles schief. bin ich auf dem woodway :-)?
Vielen Dank zum voraus, jep nep seppp |
Rainer
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. November, 2001 - 00:08: |
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Hi seppp, das würde ich auch so machen.
Den kleinsten Abstand erhält man, indem man den Punkt auf exp(2x) sucht, von dem aus man das Lot auf y=x fällen kann. Das muss bedeuten, dass die Graphen dieselbe Steigung haben müssen.
Was du nach
y`= 2*exp (2*x) =1 gemacht hast, kommt mir spanisch vor.
Ich würde dann durch 2 teilen:
exp (2*x) = 1/2
und logarithmieren:
2x = ln(½)
x = ½ln(½)
dieses in y=exp(2*x) einsetzen und die y-Koordinate bestimmen ergibt y=½.
Der Punkt F, auf dem das Lot von P(½ln(½) | ½) aus die Gerade y=x trifft, ergibt sich als Schnittpunkt der Geraden y=x mit der Geraden g(x), die durch (½ln(½) | ½) verläuft und die Steigung m der Orthogonalen zu y=x hat:
m=-1/1 = -1
g(x)=mx+b mit m=-1, x=½ln(½), g(x)=½
führt auf
½ = -1*½ln(½) + b => b = ½ + ½ln(½)
also g(x) = -x +½ + ½ln(½)
und der Schnittpunkt dann durch Gleichsetzen von g(x) mit y=x:
x = -x + ½ + ½ln(½) |+x
2x = ½ + ½ln(½) |:2
x = ¼ + ¼ln(½)
y=x, also y=¼ + ¼ln(½)
P(½ln(½) | ½)
F(¼ + ¼ln(½) | ¼ + ¼ln(½) )
Abstandsformel (nach Pythagoras):
d² = (¼ + ¼ln(½) - ½)² + (¼ + ¼ln(½) -½ln(½) )²
= (¼ln(½) - ¼)² + (¼ - ¼ln(½) )²
= 2*(ln(½)-1)²/16
= (-ln(2)-1)²/8
= (ln(2)+1)²/8
=>
d=(ln(2)+1)/(2Ö2)
also angenähert d=0.5986 |
jep nep (Seppp)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. November, 2001 - 09:15: |
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vielen dank rainer, ich habs durchschaut, das nächste mal haut es ohne deine hilfe hin, seppp |
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